ガロアの定理に複雑な視点はありますか？

• ガロアの定理は、係数とラジカルの有理関数を使用して5以上の次数の多項式の根を表現できないと効果的に述べています。

• 次の形式の決定問題を考えます。「実根多項式与えられ、$p$数kは少なくともkのギャップで 3番目と4番目に高い根$p$ですか？」

この決定問題の証明証明書は、この多項式の根のセットであり、短い証明書であるため、$NP$ BUTはガロアの定理ではなく、この証明書を見つける決定論的なアルゴリズムは存在しないと思われます決定質問？（およびこのプロパティがtrueの場合、この質問に対する答えを決定するアルゴリズムが除外されます）

それでは、この決定の質問はどの複雑さのクラスにありますか？

私が見たすべてのNP完全な質問には、それらを解決するために利用可能な簡単な指数時間アルゴリズムが常にあります。これがすべてのNP完全な質問に常に当てはまるプロパティであると予想されるかどうかはわかりません。この決定の質問では、これは真実ではないようです。

興味深い関係ですが、ガロア理論では、問題が超多項式時間を必要とする解決策（たとえば、最長パス）を持っていると言うのではなく、ラジカルを使用して5次の根を見つけるための（一貫した）方法は存在しないと述べています。ですから、複雑さよりも決定不能性に関係していると思います。

具体的には、ガロア理論では、段階的に（一度に1つのルートを追加して）、方程式の根のグループ拡張を段階的に構築します。そして、これらのグループはすべて解決可能でなければならず、ある意味では、これらの拡張機能を別の順序で構築するプロセスに曖昧さはないはずです。ある方程式のガロア群の構築の複雑さにMOの関連質問が。

ここでの別の参照「計算ガロア理論：不変量と計算」、クラウスフィーカーユルゲンクラナーズ$\mathbb{Q}$

さらに、方程式のガロア群の構築に基づいて、ラジカルを使用して多項式等式の根を体系的に表すことができます（方程式がラジカルを使用して解ける場合）。参照：「多項式の根のラジカル表現」、安内裕和、横山一博2002

整数上所与モニック既約多項式かどうかを決定する計算の複雑、ラジカルによる可溶性であるである文献S.ランダウGLミラー1984、「ラジカルによる可解は多項式時間であり、」$\mathbb{Z}$$\mathbb{P}$

アレクサンダー・フルプケの最近の「ガロア群の計算手法」の調査

もちろん、優れた近似アルゴリズムとその複雑さ（Newtonの方法やSturmの定理など）を探している場合、これはわずかに異なる質問であり、既に投稿された回答はその方向でより多くの情報を提供します。

整数係数の多項式を検討していると思います。

調査の出発点が間違っています。あなたの目標は、実際のルートの適切な推定値を見つけることです。あなたがそれを十分な精度で評価できるように代数式を探すことはあなたにできることですが、それはここで本当に正しいことではありません。（もちろん、「k多項式の-番目に大きい実根」が代数演算の1つでない限り）

より良い出発点は、Sturmの定理を使用して多項式の根を分離することです。その後、バイナリ検索でより良い推定値を生成できますが、それが遅すぎる場合は、Newtonの方法を使用して高精度の推定値をすばやく生成できます。

しかし、それは証明書を見つけることです。どんな証明書が存在できるのかという疑問がまだあります。

最初に、たとえば計算することにより、2つのルートが正確に 単位離れているかどうかを直接計算できることを指摘します。また、繰り返されるルートについて何をしたいかを決定し、適切に対処する必要があります。これらのケースに特別に対処すると思います。$k$$\gcd(p(x), p(x-k))$

2つの根が正確に単位離れていないことがわかっている場合、単位より大きいまたは小さいことを証明するのに十分な精度の推定値を生成できることを意味します。たとえば、2種類の証明書があります。$k$$k$

最初の種類（否定の証明）は

• $a$は根ではない$p$
• $p$は根がない$(a-k, a)$
• $p$は 3つのルートがあります$(a, \infty)$

2番目の種類（正の証明）は

• $a$は根ではない$p$
• $p$は少なくとも2つの根がある$(a-k,a)$
• $p$は 2つのルートがあります$(a, \infty)$

証明書は、Sturmの定理を使用して検証できます。さて、証明書のサイズに関するご質問は、精度の多くのビットは、あなたが表現するために必要な方法を見つけることに帰着します。$a$

言い換えれば、可能な値の範囲何、の根である？$a-b-k$$a,b$$f$

私は素晴らしいアプローチを確信していませんが、あなたに何かを与えるべきことは、これらの値のすべてが多項式の根であることを観察することです：

どうして？2つのmonic多項式の結果は、それらの根のすべての差の積であることを思い出してください。

ここで、は先行係数、はの次数です。（たぶん、代わりに式を書いたかもしれません。$c$$d$$f$$-g(x)$$g(x)$

したがって、問題は係数大きさの推定値を見つけ、それを知ったら、根がゼロにどれだけ近くなるかの推定値を見つけることです。$g$$g$

（または、代わりに、の逆多項式の根が持つことができる最大の大きさを見つけます。逆多項式の根はの根の逆数です）$g$$g$

ほとんどオープンエンドであるとしてあなたの質問を取るつもりです。Abel-Ruffini thmとして知られるガロア証明は、5次の多項式解が不可能であることを示しています。（例えば、二次方程式とは対照的に）。そのないの結果本当にそう硬度、それ自体が問題のではなく、不可能では。この意味で、それは、例えば、停止する問題の決定不能性の証拠に類似しています。複雑性理論は一般に、コンピューティングソリューションの「コスト」に関係しています。それが、この次の論文の導入部の2つの主要なCS研究者の視点です（計算可能性と複雑性 / Kleinberg＆Papadimitriou）、sec 1 The Quest for the Quintic Formula：

数世紀の安全な距離から見ると、この物語は明らかに計算に関するものであり、計算をモデル化するためのその後の努力で生じる多くの重要な要素を含んでいます。 、この場合）、正確なモデルを定式化し、モデルから、プロセスの計算能力に関する非常に予期しない結果を導き出します。一般的に計算に適用したいのは、まさにこのアプローチです。

他の場所での緩い/一般的な類似は、P NP証明（または他の複雑さのクラス分離）がAbel-Ruffini thmのような計算不可能性の結果に類似していることです。分離結果では、特定のタイプの問題は別の特定のタイプの「計算リソース」では解決できないとおおまかに言っています。P NP定理は、（記念的な）計算不可能な結果と見なされます。$\neq$$\neq$