DNFからCNFへの変換：簡単または難しい

CNFからDNFへの変換がNP-Hard（および関連するMathスレッド）であることを証明するスレッドに関連して：

DNFからCNFへの他の方向はどうですか？簡単ですか、難しいですか。

このペーパーの 2ページ目では、「CNF表現からDNF表現（またはその逆）に切り替えるときのサイズの最大の拡大に関心がある」と言うと、両方向が等しく難しいことを示唆しているようです。

しかし、DNF-SATはPにあり、CNF-SATはNP完全です。したがって、DNF式与えられると、長さが長さの多項式である、等価な CNF式が存在するはずです。また、変換は、ポリ時間で実行できます。これは正しいです？$\phi_1$$\phi_2$$\phi_1$$\phi_1 \to \phi_2$

編集：変更同等にequisatisfiable（であるが、追加の変数がで許可されている）。$\phi_2$

追加の変数を導入したい場合は、Tseitin変換を使用して、多項式時間でDNF形式からCNF形式に変換できます。結果のCNF式は、元のDNF式と充足可能になります。CNF式は、元のDNF式が充足可能である場合にのみ充足可能になります。https://en.wikipedia.org/wiki/Conjunctive_normal_form#Conversion_into_CNFも参照してください。

追加の変数の導入を許可したくない場合、DNFからCNF形式への変換はco-NP-hardです。特に、DNFフォーミュラがトートロジーであるかどうかのテストは、共NP困難です。ただし、CNF数式がトートロジーであるかどうかのテストは、多項式時間で実行できます（各句がトートロジーであるかどうかを個別に確認するだけです。これは、各句がリテラルの分離であるので簡単です）。したがって、新しい変数を導入せずに、多項式時間でDNF形式からCNF形式に変換できれば、DNF式がトートロジーであるかどうかをテストするための多項式時間アルゴリズムが得られます。 Pはco-NPと等しくありません。または、別の言い方をすると、追加の変数を導入せずにDNF形式からCNF形式に変換することは、共NP困難です。

これは間の差である等価対equisatisfiability。同等性では、2つの式が同じ解のセットを持っている必要があります（したがって、追加の変数を導入できません）。等化可能性は、両方の式が満たされるか、どちらも満たされないことを要求するだけです（したがって、追加の変数を導入することができます）。