建設的な証明の実際の影響は何でしょうか？

私は問題を高度に理解しており、提供されたソリューションで真であることが絶対に「証明」された場合、コンピューターサイエンスの領域内の多くの問題を解決するための扉が開かれることを理解しています。$P=NP$

私の質問は、誰かが議論の余地のない、建設的な証拠を公開する場合、そのような発見について私たちが目にするであろう即時の効果のいくつかは何ですか？ $P=NP$

5〜10年後に世界がどのようになるかについての意見を求めているのではありません。代わりに、これは根本的に解決不可能な問題であり、計算方法を根本的に変える可能性があるという私の理解です...今日は簡単に計算できない多くのこと（ええ、これは私の無知が示されている場所です...） 。

徹底的で正確かつ建設的な証拠は、実際の世界にどのような種類のほぼ即時の効果をもたらすでしょうか？$P=NP$

人々は、が非常に大きな定数であると仮定して、良い答えを出しました。私は楽観主義者を演じて、証明が扱いやすい小さな定数で見つかると仮定します。おそらくそうではないかもしれませんが、すべての問題を効率的に解決できれば、どのようなことが起こるのかについての洞察を与えようとしています。P = N P N $P=NP$$P=NP$$NP$

• コンパイラ：コンパイラはレジスタの割り当てにグラフの色付けを使用するため、一部のコンピュータープログラムはわずかに高速になります。多数のレジスタに正確に割り当てることができます。おおよそのソリューション（コードグラフなど）を使用する既存のコンパイラはより良い出力を取得し、正確なソリューションを使用するコンパイラはより高速になります。

• 施設の場所：数千の店舗と工場が存在する可能性がある場合、企業は工場を配置し、店舗に出荷するためのデポを供給する最適な場所を見つけることができます。おそらく現代の近似に対する大きな改善ではないでしょうが、コストは削減されます。

• 飛行機のチケットの購入：航空券は三角形の平等に従っていないため、奇妙です。A-> Cから直接飛行するよりも、A-> B-> Cから飛行する方が、距離をモデル化するときに現れない場合があります。いくつかの都市を訪問し、故郷で開始および終了するフライトの絶対最安値シーケンスを見つけるWebサイトを作成するのは簡単です。

• 回路設計：チップ上の電気回路は基本的にブール式です。最小化などを効率的に計算できるため、ハードウェアはもう少し効率的になります。

• スケジューリング：学校が2つの試験を同時に受けたことに怒っていますか？場合、学校は必要なタイムスロットの数を使用して、生徒が競合しないようにするか、または複数のタイムスロットを指定して、競合の数を最小限に抑えることができます。$P=NP$

これは、完全性が障壁ではない場合に見られる実用的なアプリケーションの単なるサンプルです。私は多くを見逃したと確信していますが、与えられた構造が良い定数を持っていれば、その影響は広範囲に及ぶでしょう。$NP$

必ずしも効果が現れるとは限りません。基本操作で変数で3SATを解くアルゴリズムを誰かが見つけたとします。時間がかかりすぎるため、どのインスタンスでもこのアルゴリズムを実行することはできません。または、基本操作で実行されているアルゴリズムを見つけたとします。より多くの変数には時間がかかりすぎるため、単一の変数の3SATインスタンスでのみ使用できます。2 100 n n $n$$2^{100} n$$n^{100}$

一方、P NPであり、より強力な指数時間仮説さえ成り立つと仮定します。それから、一般的に、3SATは扱いにくいはずです。しかし、SATソルバーは特定の問題でうまく機能しているようです。$\neq$

ここで何が起こっていますか？P対NPの質問にはいくつかの問題があります。

1. 最悪の場合にのみ関係します。
2. 漸近的です。
3. 多項式の時間範囲はすべて同じです。

これらの問題は、現実世界との関連性に疑問を投げかけています。今では可能性があり、いくつかの本当に速いアルゴリズムが3SATのために発見されたことも、対称暗号化は、破壊可能になることを非常に速く起こります。しかし、私はこれが非常にありそうにないと思います。一方、PがNPと異なることは完全に一貫性があり、ファクタリングは実用的です。これにより、特定の公開キー暗号化スキームが破壊されます。これは影響を与える可能性が高い状況ですが、P対NPの質問とは無関係です。

P対NPの質問は数学的な観点からは自然なことかもしれませんが、実際的な関連性は疑わしいです。一方、質問に関する研究は、実際的な影響がある場合とない場合があります。この側面に導かれるわけではありません。

ここで非常に良い読み物は[1]で、Impagliazzoは複雑性クラス間の関係が異なる5つの可能な「世界」を考慮しています。たとえば、Algorithmica（セクション2.1を参照）と呼ばれる世界では、（またはなどの他の「道徳的等価物」）があります。N P ⊆ B P $\sf P = NP$$\sf NP \subseteq BPP$

Algorithmicaでは、実質的にどんな最適化問題も些細なことです。プログラミング言語は、計算の実行方法を指定するのではなく、入力に関連して目的の出力に必要なプロパティが1つある言語です。コンピューターは、ほぼ定理の長さの時間内に定理の証明を見つけることもできます。（もちろん、このビューは非常に楽観的であり、完全問題の効率的なアルゴリズムに依存しています）。$\sf NP$

[1] ラッセル・インパリアッツォ。平均ケースの複雑さの個人的な見解。複雑性会議、1995。

P = NPがなくても、今日のコンピューターは信じられないほど強力です。

• 12873891274647018937561708356916501047777612653914909670721635802187は、1台のコンピューターで1秒未満でファクタリングできます。
• 機能のより高いレベルの説明からチップの電気的レイアウトを合成したり、製造プロセスからのアーティファクトを補正するためにフォトマスクを修正したりといった、より困難なタスクの場合、数百台のコンピューターのクラスターが1日中働いて不可能を可能にします。
• 今日のコンピューターは、人間が証明できなかった数学的定理を証明することができます。たとえば、ロビンス代数はブールである、または無制限であると推測される特定の定数（エルドの不一致問題）は2より大きいです。
• 静的ソースコード分析プログラムは、Heartbleedバグのような脆弱性を識別することができます。
• prover9やthe-E-theorem-proverのような自動推論ツールは、明示的な助けを必要とせずに、インバースセミグループと強く規則的なリングの一般的な代数的特性のほとんどを証明できます。

2018年 1 月22日編集下の例で引用されたテキストをどのように「解釈」するべきかがわかりました。私自身のせいで、逆要素は一意である必要がありました。これは2014年12月22日からの入力ファイル（addinvrig.in）であり、ここは今日からの固定入力ファイル（addinvrigFixed.in）です。重要なラインは(x+(-x))+((-y)+y)=((-y)+y)+(x+(-x)).、他の人の文章を誤解することから私を救うことができないとしても、自動推論ツール自体の力はまだ私にとって魅力的です。

テキストを「解釈」する方法がわからない引用定理に出くわしたとき、自動推論ツールを使用することは驚くほど便利です。

1974年、Karvellas [3]は加法逆半環を研究し、次のことを証明しました：
（Karvellas（1974）、定理3（ii）および定理7）加法逆半環（S、+、・）を取ります。
（i）すべてのに対して、および （ii）場合すべての場合、は相加的に可換です。（X ⋅ Y ）' = X ' ⋅ Y = X ⋅ Y ' 、X ' ⋅ Y ' = X ⋅ Y A ∈ A S ∩ S A A ∈ S $x, y \in S$$(x \cdot y)' = x' \cdot y = x \cdot y'$$x' \cdot y' = x \cdot y$
$a \in aS \cap Sa$$a \in S$$S$

私はこの定理にprover9入力ファイルを適合させ、引用した定理の反例がすぐに示されました。仮定をわずかに修正すると、多くの類似した真の定理が生成されたため、Karvellasが正しい定理を実際に述べ、証明した可能性が高くなります。この定理を参照するためのグーグルは、カーベラスの精度がさらに低いことを引用した別の論文を掲載しただけです。

これは、P！= NPの場合に一般に難解な特定の問題に対するコンピューター支援の結果の信じられないほど不完全なコレクションです。おそらく、このコレクションは、少なくとも一部の読者には、このドメインのコンピューターの能力を過小評価する傾向があることを明らかにしているかもしれません。この質問に対する他の多くの回答は、コンピューターが難治性の問題を解決するのに（少し）良くなれば、大きな影響はないことを示唆しているようです。しかし、コンピュータは常に手に負えない問題を解決するのに優れています（これを実現するためにかなりの時間とお金が費やされるため）。これは非常に現実的な結果をもたらします。P = NPが証明されると、コンピューターが実際にできること（今日でも）についての認識が高まり、コンピューターを使用してそのようなタスクを支援する人が増えます。（PS：P！= NPであると確信していますが、

P = NPの実際の影響については多くの意見があります。他の良い反応に見られるように、主に2つの考え方があります。1つは、P-timeアルゴリズムは、抽象化に関連する「予期しない異常」のために実際に実装するのが非常に困難または実行不可能である可能性があることです。例えば：

• プログラムが大きすぎて実際にコーディングできない可能性があります
• 「地球計算」の範囲内にあるすべてのインスタンスに対して、非常に大きな定数が含まれる可能性があります。つまり、非常に大きなインスタンスを除き、効率は「キックイン」しません。Knuthが最近指摘したように、いくつかのアルゴリズムが実際にこのケースに適合することが知られています（質問15）

一般に、サイズnが実行可能な問題に関して高速に動作するアルゴリズムに焦点を当てています。今日の文献のほとんどは、漸近的に素晴らしいアルゴリズムに捧げられていますが、それらはnが宇宙のサイズを超えている場合にのみ役立ちます。

有名なケーススタディは、他の回答でJが引用したImpagliazzoによって行われました。しかし、彼のエッセイはその間に幾分外挿されました。これは、ある種のサイエンスフィクションの未来シナリオ、ch2 / p11でこの質問に取り組む専門家による素晴らしい新しい参考文献です。要約する

ゴールデンチケット：P、NP、およびランスフォートノウによる不可能の探索

• 「P = NPであり、すべてのNP問題に対して効率的なアルゴリズムがあると判明した場合、世界はインターネットが歴史の脚注のように見える方法で変化します。新しいテクノロジーの最大の影響を予測することは不可能です。」

• スーパーコンピューターに迅速に実装されたアルゴリズム。ボーイングはすぐに契約して、新しい航空機のより良い翼の設計を取得し、ロンドンからシドニーまでノンストップで飛行できるようにします。

• より高速で、元のP = NPソリューションを最適化する新しいアルゴリズムを見つけるために使用される検索アルゴリズム。最後は、4200万行の判読不能なコードの結果です。「Urbanaアルゴリズム」と呼ばれる

• 個人に合わせたカスタマイズされた癌治療/治療に近いアルゴリズムを見つけるために使用されるアルゴリズム。癌、エイズ、糖尿病を治すが、風邪は謎のまま

• スーパースケジューリングアルゴリズムにより、予測者は「天気予報を驚くほど進歩させ、ほぼ1年前に温度、風、雲量、降水量を正確に予測できます。同様のアルゴリズムにより、嵐、竜巻、ハリケーン必要に応じて準備または避難してください。」

• 高精度の顔認識

• コンピューターは異なるカメラアングルからリアルタイムでシーンの3Dモデルを再構築できます

• コンピュータアルゴリズムは、スポーツイベントのカメラ操作を制御します（人間が制御するのではなく）

• 自動化された解説とリプレイは、適切に選択された角度と統計を含むアルゴリズムによって生成され、リアルタイムで任意の言語で生成されます

• ファンタジー野球/スポーツは、非常に正確なシミュレーションで新しい次元を取ります

• アルゴリズムによって改善された食品レシピの味

• このアルゴリズムを使用して、「良いアート、ポピュラーミュージック、魂を揺さぶる言葉など、何でも学ぶことができます。P= NPは、テストできることを意味していることを忘れないでください。偉大さを認識するプロセスがあれば、アルゴリズムを再度使用して、その偉大さをすばやく見つけることができます。」

• 政治家はコンピューターアルゴリズムを使用して、優れたスピーチを認識し、パターンに合ったスピーチを生成します。インターネット上でスピーチは広まります。

• 人々は不完全/未完成の芸術、例えば交響曲から完全な芸術作品を生み出します。アルゴリズムを使用して、新しいビートルズ/エルビスのレコードを生成します。ハンフリーボガート/ジュリアロバーツとのロマンチックなコメディなど、新しいアート、小説、演劇、詩。

• Amazonは、オンデマンドで個人向けにカスタマイズされた小説を作成できます。NBCは完全にコンピューターによって作成された実写アドベンチャーテレビシリーズを作成します

• ビデオゲームでシミュレートされたバーチャルリアリティにより、固定された一連のストーリーラインではなく、プレイヤーのアクションが可能になります。

• 法執行機関は、アルゴリズムを「犯罪を解決するための信じられないほどのツールとして使用し、容疑者を追跡することは不可能に見えます」。コンピューターアルゴリズムは、DNAのみを使用して、（合成スケッチの）可能性のある顔を再構築できます。警察は、生成されたスケッチ（DNAから）に合わせた運転免許証の写真データベースの大規模な検索を使用して、殺人容疑者を照合します。

残念ながら、上記のFortnowが概説している多くのことは、おそらくImpagliazzosの世界の想像上の外挿を除いて、実際の科学文献によってサポートされています。このポイントごとに分析するにはさらに多くの時間がかかりますが、要約すると、すべてが面白いが幻想的/ 希望的思考であるように見えます（または、それが彼の隠れた点かもしれません）。実際、多くの項目と矛盾する科学的原則があります。フォートノウはスポーツファンなので、その分野で比inを広げていますが、これは人間が溝で考えていることを示しているのでしょうか？

たとえば、「バタフライ効果」は、「初期条件への敏感な依存」のために（たとえば）数日間の地平線を過ぎた正確な天気予報が不可能であることを意味することが知られている（ポイント）。また、影響力のあるアート（熟練した人間でさえも一貫して成功しないタスク）の生成や識別など、人間が主体的なタスクでコンピューターが失敗するという多くの証拠があります。

実際、質問全体が反事実的または虚偽の前提に迫っています。これまで議論の余地のない証拠がなかったにもかかわらず、大多数の専門家科学者が考え/信じていたことに注意してください、P≠NP。そして、熱力学（例：永久運動の不可能性/自由エネルギー）や統計、たとえば"無料昼食定理"などの他の既知の法律/制限/制限と比較するのは自然です。

結論としては、専門家の科学者でさえも、P = NPの結果を正確に予測できない可能性があるということです。したがって、現時点での最良の答えは、現時点では人間には良い答えがないことを認めることです。

P対NP、技術的対道徳

$O(n^2)$$O(n^{\lg^* n})$$2^{65536}+2^{1024}n^{256}$$O(n^{\lg n})$

それでは、P = NPが道徳的に正しい場合はどうなりますか？

$Q$$Q$trueの場合、これらの問題はすべて非常に高速に解決できます。例を挙げるだけで、非常に複雑な機械学習モデルに最適な重みを学習できます。暗号化プロトコルを破ることができます。

P場合との比較$\neq$

$\neq$

$\neq$

$\neq$

$\neq$

NP完全問題を一般的な入力ではなく特定のプロパティを持つ入力で解決したい場合は、一般的な問題を気にする必要はありません。単純な問題を解決するだけで済みます。残念ながら、実際にどのような入力を気にするかを決定するのは簡単ではありません。

$\neq$

提供されたソリューションを使用して、P = NPの徹底的かつ正確な証明が実際の世界にどのような種類のほぼ即時の効果をもたらすでしょうか？

そこから生まれる素晴らしいものはおそらくたくさんありますが、誰も気にしません。

問題は、（ほぼ）すべての最新の暗号化の基礎が、P が NPと等しくないという仮定に基づいていることです。インターネットを介して、およびデータベースに保存されるときにパスワードを保護する暗号化。保護暗号化クレジットカードのデータを、それがインターネット上で行くように...それは巨大な生物に私たちの世界経済を結ぶ毎日金融取引の十億を保護し、暗号化。

最良の場合、P = NPは停止することを意味します。人々は現金の使用に戻り、中央オフィスへの取引はもはや信頼できないので、銀行はこれらの現金の引き出しを接続されていない媒体に記録しようとします。より良い暗号化がグローバルに実装されるまで、これはおそらく数ヶ月続きます。最良の場合。

最悪の場合、P = NPは誰かが世界を壊すことを意味します。通貨は信頼の概念に基づいて構築されています。あなたはあなたの隣人があなたのためにドルの価値の商品やサービスを与えると信じているので、あなたはドルを大切にします。カードをスワイプして500ドル相当の商品やサービスを手に入れることができるため、銀行に500ドルあるとコンピューターを評価します...

もしそれを信用できなかったらどうしますか？P = NPの場合、誰かがさまざまな銀行、政府、人になりすますことができ、すべての口座の通貨の量を効果的にランダム化できます。すべてのアカウントの通貨を削除します。確かに、さまざまな銀行がそれを説明するためのバックアップを持っていますが、暗号化はどのくらいの間壊れていますか？どのトランザクションが適切で、どのトランザクションが偽装されましたか？知ることは不可能です。

その信頼が破られると、混乱が続きます。（たとえば）巡回セールスマンの問題に対処できることによるメリットは、人々が自分自身を養うのに苦労するため無視されます。

現実はその中間のどこかにある可能性が高いが、うまくいけば、これがどれほど重要な問題であるかを十分に大きく描いている。

機器、電気、およびクラウドのアプローチの費用が大幅に低下します。現在、ブルートフォースで計算されているものが多くあります。これらの大規模にパラレートされたブルートフォース計算をすべて行うことはもうありません。

それは決してクラウドコンピューティングの唯一の使用というわけではありませんが、エネルギーの使用やクラウド処理などで注目すべき要素であることに変わりはありません。

AIはさらに良くなります。ついに最高のGOプレイヤーになりうるコンピューターが手に入るかもしれません。そして、あなたのグラフ電卓はチェスであなたを打ち負かすでしょう。

$\ne$

そして、反証される推測は、実用的な有用性のすべての問題が指のスナップで解決されることを意味するものではありません。そもそも、NPよりも難しい場合があります。