一般化された3SUM（k-SUM）問題？

3SUMの問題は、3つの整数を識別しようとし、B 、CセットからSサイズをNよう+ B + C = 0。$a,b,c$$S$$n$$a + b + c = 0$

二次、すなわちよりも良い解はないことが推測されます。または、別の言い方をすると：o（n log （n ）+ n 2）。$\mathcal{o}(n^2)$$\mathcal{o}(n \log(n) + n^2)$

これが一般化問題に適用される場合、私は思っていたので：整数を探す私のためのI ∈ [ 1 ... K ]集合でSサイズのNようにΣ I ∈ [ 1 .. kの] A I = 0。$a_i$$i \in [1..k]$$S$$n$$\sum_{i \in [1..k]} a_i = 0$

私はあなたがこれを行うことができると思いますのためのk ≥ 2（それは、単純な一般化するために些細だのk = 3アルゴリズム）。 しかし、kの他の値に対してより良いアルゴリズムはありますか？$\mathcal{o}(n \log(n) + n^{k-1})$$k \geq 2$$k=3$
$k$

$k$ -SUMは、次のようにしてより迅速に解くことができます。

• 偶数$k$：k / 2個の入力要素のすべての合計のソート済みリスト$S$を計算します。かどうかを確認してくださいSは、いくつかの数の両方が含まれ、Xとその否定を- X。アルゴリズムはO （n k / 2 log n ）時間で実行されます。$k/2$$S$$x$$-x$$O(n^{k/2}\log n)$

• 奇数$k$：（k − 1 ）/ 2入力要素のすべての合計のソート済みリスト$S$を計算します。各入力要素aについて、ある数xについて、Sがxと− a − xの両方を含むかどうかを確認します。（2番目のステップは、基本的に3SUM のO （n 2）時間アルゴリズムです。）アルゴリズムはO （n （k + 1 ）/ 2）時間で実行されます。$(k-1)/2$$a$$S$$x$$-a-x$$x$$O(n^2)$$O(n^{(k+1)/2})$

両方のアルゴリズムは、計算の線形決定木モデルの特定の弱いが自然な制限の定数kに対して最適です（$k$が偶数で$2$より大きい場合の対数係数を除く）。詳細については、以下を参照してください。$k$

• ニル・アイロンとバーナード・シャゼル。 線形縮退テストの下限。 JACM 2005。

• ジェフ・エリクソン。 線形充足可能性問題の下限。 CJTCS 1999。

$d$$n^{\Omega(d)}$$2^{o(n)}$

言い換えると、指数時間仮説を仮定すると、アルゴリズムは指数の定数因子（多項式因子まで最適です。$n$

（1）Mihai PatrascuおよびRyan Williams。より高速なSATアルゴリズムの可能性について 手続き 第21回離散アルゴリズムに関するACM / SIAMシンポジウム（SODA2010）

ここにいくつかの簡単な観察があります。

$k=1$$\Theta(n)$$k=2$$\Theta(n \log n)$$i$$-i$$\Theta(n \log n)$$k=n$$\Theta(n)$ 配列を蓄積し、結果をチェックすることで時間を計ります。

その他のリファレンスについては、3SUMの「未解決の問題プロジェクト」ページを参照してください。

http://arxiv.org/abs/1407.4640を参照してください

rSUM問題を解決するための新しいアルゴリズムValerii Sopin

抽象：

場合によっては時間の複雑さの準二次評価を使用して、任意の自然rのrSUM問題を解決するための決定されたアルゴリズムが提示されます。使用されるメモリ量の観点から、取得されたアルゴリズムは2次以下の順序にもなります。得られたアルゴリズムの考え方は、整数を考慮するのではなく、2進記数法でこれらの数値のk∈N連続ビットを考慮することに基づいています。整数の合計がゼロに等しい場合、これらの数値のk個の連続するビットによって表される数値の合計は、ゼロに十分に「近い」必要があることが示されています。これにより、解決策が確立されていない数字を破棄することができます。

それはこの問題で新しいものです。