整数の大きなべき乗のビット数を計算する

バイナリ表現で2つの整数とが与えられた場合、ビットサイズを計算する複雑さは何ですか？ $x$ $n$ $x^n$

これを行う1つの方法は、十分な精度で近似を計算することにより、を計算することです。これは、表示されるコンピューティングと精度のビットで行うことができる、長さの二つの整数の積を計算するのに必要な時間である。この利回り複雑さの（特別に単純ではない）アルゴリズムおよそ場合両方のビットサイズに拘束されおよび（私はエラーをしなかった場合）。 $1+\lfloor \log_2(x^n)\rfloor=1+\lfloor n\log_2(x)\rfloor$ $\log_2(x)$ $\log_2(x)$ $k$ $O(M(k)\log k)$ $M(k)$ $k$ $O(s\log^2 s)$ $s$ $x$ $n$

を打つことができますか？ここではとサイズです（それらが同等のサイズの場合）。この複雑さ以上を実現する簡単なアルゴリズムはありますか？ $O(s\log^2(s))$ $s$ $x$ $n$

注：チューリングマシンなどの理論モデルの複雑さに興味があります。

complexity-theory time-complexity binary-arithmetic

— ブルーノ
ソース

これを理論上のコンピュータサイエンスに

— vzn 2014年

@vzn：これは役に立たないと思います...

— Bruno

何故なの？この質問はでRJLiptonでカバーとしてDysons推測例えば上のアルゴリズムの攻撃を思い出させる1、2

— vzn

質問への答えを見つけたからといって、どこか他のところに質問する必要はありません。

— Bruno

[編集]提案されたように、私は回答を編集して詳細を示します。

私の2番目の質問への答えはノーです：

命題。計算精度までハードとしての少なくとものビットサイズコンピューティングなどである。 $\log(x)$ $k$ $x^{2^k}$

証明。ましょう整数のビットサイズを示します。最初の通知非負整数の場合とのビットサイズある。 $|y|$ $y$ $y$ $y$ $1+\lfloor \log y\rfloor$

したがって、。これで、はだけ左に位置シフトされました。したがって一つは計算することができるの精密に単に減算することによりのビットサイズに及び結果シフト右に位置します。 $\left|x^{2^k}\right| = 1+\lfloor 2^k\log x\rfloor$ $2^k\log(x)$ $\log(x)$ $k$ $\log(x)$ $k$ $1$ $x^{2^k}$ $k$

— ブルーノ
ソース

ビット数により、

から

ビットの精度を計算できるのはなぜですか？あなたの削減は実際に機能しますか？

の特別なケースが、他のすべての

値（2のべき乗ではない）よりもはるかに簡単/難しい場合はどうなりますか？その可能性を排除する方法はありますか？

x^{2^{k}}

$x^{2^k}$

\log x

$\log x$

k

$k$

n = 2^{k}

$n=2^k$

n

$n$

— DW

@DW：vznのコメントの後で、この質問に戻ります。次のように私の証明である：整数のビット数

ある

。したがって、内のビットの数

ある

。さらに、

同じである

が、シフト

左側に位置します。したがって、

（少なくとも）あなたに与える

最初のビット

y

$y$

1 + ⌊ \log y ⌋

$1+\lfloor\log y\rfloor$

x^{2^{k}}

$x^{2^k}$

1 + ⌊ 2^{k} \log x ⌋

$1+\lfloor 2^k\log x\rfloor$

2^{k} \log x

$2^k\log x$

\log x

$\log x$

k

$k$

⌊ 2^{k} \log x ⌋

$\lfloor 2^k\log x\rfloor$

k

$k$

。したがって、

ビット数を計算できる場合は、結果から

を引くと、

最初の

ビットが得られ

。これは理にかなっていますか？

\log x

$\log x$

x^{2^{k}}

$x^{2^k}$

1

$1$

k

$k$

\log x

$\log x$

— ブルーノ

はい、それは私にはもっと理にかなっています！特にあなたはただ硬さを見せようとしているだけなので。この詳細な説明で回答を更新することをお勧めしますか？これに戻って、あなた自身の質問に対する回答を文書化していただきありがとうございます。

— DW