P≠NPを想定したNP完全問題のアルゴリズムの実行時境界

と仮定します。 $P\neq NP$

すべてのNP完全問題の実行時の境界については何が言えますか？

すなわち、最も完全な関数とは、 NP完全問題の最適なアルゴリズムが少なくともおよび長さ入力で最大？ $L,U:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ $\omega(L(n))$ $o(U(n))$ $n$

明らかに、。また、。 $\forall c:L(n)=\Omega(n^c)$ $U(n) = O(2^{n^{\omega(1)}})$

仮定しなければ、、またはによって暗示されていないその他の仮定、我々は上の任意のより良い境界を与えることができる？ $QP\neq NP$ $ETH$ $P\neq NP$ $L,U$

編集：

少なくとも一方にそのノート遠い私はここに与えた境界からでなければならない、NPCの問題であるので、これらの問題は、いくつかのNPCの問題は、時間の最適なアルゴリズムがある場合つまり、互いの間のポリ時間短縮を有する、すべての問題には実行時アルゴリズム（最適かどうか）があります。 $L,U$ $f(n)$ $O(f(n^{O(1)}))$

— RB
ソース

P NPの場合、実行時の境界はどの多項式よりも大きいと言えます。...afaikいいえ、より良い境界は不明です。...表記法の多くはそれを変更しません...超多項式が存在しますが、副指数関数例

\neq

$\neq$

2^{\log n}

$2^{\log n}$

— vzn

まず、は単なる線形であるため、クラスとして知られるを意味すると思います。は、NP完全関数が指数関数的に実行されることを意味するものではないことを完全に理解していますが、それは私が求めていることではありません。たとえば、仮定すると、NPC問題はで解くことができますか？は逆アッカーマン関数ですか？表記は単に正式に私の質問を発現させるために使用するツールです。..

2^{\log n}

$2^{\log n}$

2^{p o l y l o g (n)}

$2^{polylog(n)}$

Q P

$QP$

P \neq N P

$P\neq NP$

P \neq N P

$P\neq NP$

2^{l o g (n) \cdot l o g^{*} (n)}

$2^{log(n)\cdot log^*(n)}$

l o g^{*} (n)

$log^*(n)$

— RB

修正のためのthx。この分野ではほとんど知られていない。この質問を試してくださいNTime（n ^ k）=？DTime（n ^ k） tcs.se

— vzn

@RB各「可能性のある世界」には、おおよそ互いに多項式の範囲内にある下限と上限があるのは事実ですが、先験的限界がどのようなものであるかは明らかではありません。

— ユヴァルフィルマス14年

私の質問の解釈は、それは相対化された世界の可能性について尋ねられるということです。相対化された世界でと仮定します。NP完全問題の時間の複雑さについて、自明ではないことを推測できますか？ベーカー・ギル・Solovay引数のショーは、我々は「力」指数時間を必要とするためにいくつかのNP問題をことができ、その上限問題に与えられたことは、本質的には最適です。 $P \neq NP$

下限に関しては、いくつかの神託に関連する証拠、下にスケッチします。スケッチされた証明が正しいと仮定すると、よりも小さい関数にも適用できます。これは、質問で与えられた下限も本質的にきついことを示しています。 $NP = \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})$ $2^{O(\log^2 n)}$

証明スケッチ。2つのオラクルを構築します。最初のオラクルは完全な問題のように動作し 2オラクルはBaker-Gill-Solovay対角化を実装します。両方のオラクルを単一のオラクルにパックするのは簡単です。 $O_1,O_2$ $\mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})$

オラクルすべての対から構成ように、受け入れオラクルチューリングマシンである時間実行にへのアクセスを与えられた場合神託最大で長さの入力に制限された。（これは循環的な定義ではありません。） $O_1$ $\langle M, x \rangle$ $M$ $x$ $2^{2^{\sqrt{\log |x|}}}$ $O_1,O_2$ $2^{\sqrt{\log |x|}}$

oracleは、Baker–Gill–Solovayでoracleが定義されているのと同じ方法で定義されます。時間で動作する各クロック式Oracleチューリングマシンに対して、「そのまま」の長さ、ステップに対してでを実行し、サイズへの各クエリ、この入力がないことをマークします（他のクエリに対しては、入力がないことをマークします）、既にあると決定していない限り）。へのクエリも同様に処理されます（への暗黙クエリとして） $O_2$ $M$ $T = 2^{o(\log^2 n)}$ $n$ $M$ $1^n$ $T$ $O_2$ $n$ $O_2$ $O_2$ $O_1$ $O_1,O_2$ より小さなサイズで、再帰的に処理されます）; このようなクエリは、長さの文字列言及しないことを通知でので、。マシンが受け入れた場合、我々は長さの他のすべての文字列マークでそれ以外の場合は、我々は長さのいくつかの文字列を選んで、不足しているとして、とに入れ。 $n$ $O_2$ $2^{\sqrt{\log T}} < n$ $n$ $O_2$ $n$ $O_2$

クラスは、時間で実行されているすべてのプログラムで構成され、サイズに対するクエリを作成し。クラスはの形式です。ここでであるため、時間で実行され、サイズ Oracleクエリを実行するすべてのプログラムのクラスに含まれ。後者はを使用して決定できるため、にれています。これは、 $P^{O_1,O_2}$ $2^{2^{O(\sqrt{\log n})}}$ $O_1,O_2$ $2^{O(\sqrt{\log n})}$ $NP^{O_1,O_2}$ $x \mapsto \exists |y|<n^C \varphi(x,y)$ $\varphi \in P^{O_1,O_2}$ $2^{n^C}$ $2^{O(\sqrt{\log n})}$ $\mathrm{TIME}(2^{\log^2 n^C})^{O_1,O_2}$ $O_1$ $NP^{O_1,O_2} \subseteq \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$ 。

もう一方の方向については、に長さ文字列が含まれるように、ごとにで構成される言語をとします。構築により、、明らかに。これは、ます。 $L$ $1^n$ $n$ $O_2$ $n$ $O_2$ $L \notin \mathrm{TIME}(2^{o(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$ $L \in NP^{O_1,O_2}$ $NP^{O_1,O_2} = \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$

— ユヴァル・フィルマス
ソース

私はあなたの答えを完全に理解していませんでしたが、あなたが言及したように、いくつかのNP完全な問題がでしか解決できない場合、他のすべてのNPC問題も解けるのみからそれらにポリ時間短縮がありますように、そうでない場合は、あなたがより良いアルゴリズムがあるだろうことを意味し、。これは、たとえばと意味しますか？私は何が欠けていますか？

Π

$\Pi$

Ω (2^{n^{c}})

$\Omega(2^{n^c})$

Ω (2^{n^{Ω (1)}})

$\Omega(2^{n^{\Omega(1)}})$

Π

$\Pi$

Π

$\Pi$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

E T H

$ETH$

— RB 14年

まあ、これは暗示していませんが、暗示しているように見えます。

E T H

$ETH$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

— RB 14年

あなたは何も欠けていません。ETHが真実である相対化された世界があります。P = NPである別の相対化された世界があります。したがって、特にETHは偽です。

— ユヴァルフィルマス14年

しかし、、も同じである、すべての再作成された世界ではそうではありませんか？ある可能性があります。あなたの答えから私が理解したことから、が下限が指数関数であるNPC問題が存在する場合、なぜそれが本当なのか疑問に思います。

P \neq N P

$P\neq NP$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

P ⊊ Q P = N P

$P\subsetneq QP = NP$

P \neq N P

$P\neq NP$

— RB 14年

私の答えでは、という相対化された世界を（意図的に）提供し。別の相対化された世界にはます。さらに他の相対化された世界では、です。に関して、私はそれについて何も主張しません。

N P = T I M E (n^{O (\log n)})

$NP = \mathrm{TIME}(n^{O(\log n)})$

N P = T I M E (2^{n^{O (1)}})

$NP = \mathrm{TIME}(2^{n^{O(1)}})$

P = N P

$P=NP$

Q P

$QP$

— ユヴァルフィルマス14年

P≠NPを想定したNP完全問題のアルゴリズムの実行時境界

仮定しなければ、、またはによって暗示されていないその他の仮定、我々は上の任意のより良い境界を与えることができる？Q P≠ NPQP≠NPQP\neq NPETHETHETHP≠ NPP≠NPP\neq NPL 、UL,UL,U

仮定しなければ、、またはによって暗示されていないその他の仮定、我々は上の任意のより良い境界を与えることができる？ $QP\neq NP$ $ETH$ $P\neq NP$ $L,U$