ORゲートとMODゲートを備えた深度2回路は普遍的ではありませんか？

これは、すべてのブール関数ことはよく知られている（変数上、それらの否定と定数値）の深さ2のブール回路を用いて、第1に含有ANDゲートを実現することができますレベルと上位レベルの1つのORゲート。これは単にのDNF表現です。 $f:\{0,1\}^n\to \{0,1\}$ $f$

回路の複雑さに非常に関心のある別のタイプのゲートは、ゲートです。通常の定義は次のとおりです。 $MOD_m$

{M O D}_{m} (x_{1}, \dots, x_{k}) = {\begin{cases} 1 & if \sum x_{i} \equiv 0 \mod m \\ 0 & if \sum x_{i} ≢ 0 \mod m \end{cases}

$\mathrm{MOD}_m(x_1,\dots,x_k)=\cases{ 1 & if $\sum x_i \equiv 0 \mod m$ \\ 0 & if $\sum x_i \not\equiv 0 \mod m$ \\ }$

これらのゲートには驚くべき力がある場合があります。たとえば、任意のブール関数は、ゲートのみを持つ深さ2の回路で表すことができます（これは民間伝承ですが、誰かが興味を持っていると詳しく説明できます）。 $\mathrm{MOD}_6$

ただし、別のでは、最上層に1つのORゲートがあり、最下層にゲートがある回路（は一度にすべて固定され、特にすべてのゲートで同じです）は、普遍的、つまり値に対して、回路では計算できないブール関数があります。 $\mathrm{MOD}_m$ $m$ $m$ $\mathrm{OR} \circ \mathrm{MOD}_m$

私はこの主張の証拠、または少なくともいくつかの方向性を探しています。

complexity-theory logic circuits

— ガディA
ソース

最初の段落では、ゲートは必要ないか、「すべての単調ブール関数」と言う必要があります。

— 伊藤剛

あなたは正しいです; 通常の想定では、変数、その否定、および任意の値（modgateにとって重要）を入力として使用します。これを明示的に書きます。

— Gadi A

私はそれを推測、入力変数の数は、異なる、弾性率は？

n

$n$

n

$n$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen 2012

はい、申し訳ありません。

— Gadi A 2012

これに興味があります。最初の民俗学の事実についての参照を知っていますか？後者のクラスの回路ではORを1つしか許可しない場合、前者ではいくつ許可しますか？

— フアンベルメホベガ

ブールAND関数を計算できません。AND関数が回路によって計算されると実際に考えてください。次に、MODサブ回路の1つがAND関数を計算する必要がありますが、これは不可能です。 $\text{OR} \circ \text{MOD}$

— クリストファー・アルンフェルト・ハンセン
ソース

いいえ、彼は正しいです。ここでの暗黙の仮定は、nは定数であり、mod_nゲートを使用して任意の数の入力を処理できる必要があるということです。

— Gadi A 2012

@GadiAあ、そうか。これはあなたの質問では明確ではありませんでした。少なくともその分野に精通していない人にとっては。これを明確にするために少し編集しました。

— Gilles「SO-悪をやめなさい」

はい、申し訳ありませんが私の質問は非常にひどい言い回しでした。

— Gadi A

@ギレスここで私たちが検討しているファンインについて教えてください。私にとっての問題は、なぜMODのサブサーキットがANDを計算できないのか理解できないことです。このMODとこのANDはいくつの入力にありますか？