二分法とは何ですか？2-SAT自体がSATの二分法であるかどうか？

最近、私は二分法についての論文を読んでいます。私は二分法と呼ぶことができる状態を理解していませんか？「質問はPまたはNPのいずれかにあります- 完全」の意味は何ですか？（P NPと仮定） $\neq$

たとえば、「SATのクラスがPにあるかどうか」についての二分法が与えられるシェーファーの二分法の定理を知っています。この定理では、二分法には6つの条件が含まれ、そのうちの1つは「2-SAT」です。

私の質問は、「2-SAT」そのもののように呼び出すことができるかどうか、ということであるように、二分法や些細な二分法 2-SATがでているので、Pが、3-SATはNP - 完全な？「特別なクラスの場合は、別の言葉では、私がいることだろNP - 完全問題はであるP？、その後、このクラスは二分法や些細な二分法です？」

complexity-theory np-complete satisfiability

— ミャオ・ドンジン
ソース

はい、 -SAT に関して二分法があります。あなたが言うように、問題はあります（通常の複雑さの仮定の下で）場合に限ります。

k

$k$

P

$P$

k \leq 2

$k \leq 2$

— PAL GD

回答:

（粗い）二分法の定理は、特定のクラスの問題では、各問題はPまたはNPハードのいずれかであると述べています。たとえば、シェーファーの二分法の定理は、形式の問題のクラスに関係します。ここで、はブール関係のコレクションであり、は関係の結合である命題の充足可能性をから決定する問題です。これは、例で説明するのが最適です。問題2SATは、は次の3つの述語で構成されています： $\mathrm{SAT}(S)$ $S$ $\mathrm{SAT}(S)$ $S$ $\mathrm{SAT}(S_2)$ $S_2$

(x, y) \mapsto x \lor y, (x, y) \mapsto x \lor \neg y, (x, y) \mapsto \neg x \lor \neg y .

$(x,y) \mapsto x \lor y, \quad (x,y) \mapsto x \lor \lnot y, \quad (x,y) \mapsto \lnot x \lor \lnot y.$ つまり、2SATの各インスタンスは、これら3つの形式のいずれかの句の結合であり、必要な変数を置き換えることができます。別の例として、HORNSATはここで、は次の無限コレクションです：シェーファーの二分法の定理は、各有限

x, y

$x,y$

S A T (S_{H})

$\mathrm{SAT}(S_H)$

S_{H}

$S_H$

\begin{matrix} x \mapsto x, x \mapsto \neg x, (x, y) \mapsto x \lor \neg y, (x, y) \mapsto \neg x \lor \neg y, \\ (x, y, z) \mapsto x \lor \neg y \lor \neg z, (x, y, z) \mapsto \neg x \lor \neg y \lor \neg z, \\ (x, y, z, w) \mapsto x \lor \neg y \lor \neg z \lor \neg w, (x, y, z, w) \mapsto \neg x \lor \neg y \lor \neg z \lor \neg w, \dots \end{matrix}

$\begin{gather*} x \mapsto x, \quad x \mapsto \lnot x, \quad (x,y) \mapsto x \lor \lnot y, \quad (x,y) \mapsto \lnot x \lor \lnot y, \\ (x,y,z) \mapsto x \lor \lnot y \lor \lnot z, \quad (x,y,z) \mapsto \lnot x \lor \lnot y \lor \lnot z, \\ (x,y,z,w) \mapsto x \lor \lnot y \lor \lnot z \lor \lnot w, \quad (x,y,z,w) \mapsto \lnot x \lor \lnot y \lor \lnot z \lor \lnot w, \ldots \end{gather*}$

S

$S$ 、問題はPにあるか、NP完全です（これは2つの可能性しかないため、二分法です）。例えば、2SAT及びすべてのためにPである-HORNSAT 3SATはNP完全です。P NPであると信じる場合、Ladnerの定理は中間の問題-PにもNPにも完全でない問題があることを示しているので、これは驚くべきことです。シェーファーの定理は、これらの問題が形式であってはならないことを示しています。

S A T (S)

$\mathrm{SAT}(S)$

k

$k$

k

$k$

\neq

$\neq$

S A T (S)

$\mathrm{SAT}(S)$

シェーファーの定理のより洗練されたバージョンは、がco-NLOGTIME、L-complete、NL-complete、 L-complete、P-complete、またはNP-completeのいずれかにあると述べています。過去数年間で、解の数え上げ、充足可能な節の最大数の近似、非ブール領域の結果など、シェーファーの定理の無数の一般化が証明または推測されてきました。主な推測は、フェーファーバルディの二分法による推測であり、シェーファーの定理が任意の有限サイズのドメインの関係について成り立つと述べています。が無限大の場合のシェーファーの元の定理の状態については、この質問を参照してください。 $\mathrm{SAT}(S)$ $\oplus$ $S$

— ユヴァルフィルムス
ソース

ご協力いただきありがとうございます。少し明確になりましたが、この質問については本当に混乱しています。「2-SAT」自体を二分法と呼ぶことができるかどうか。2-SATはPにあるが、3-SATはNP-コンプリート？言い換えれば、「NP完全問題の特別なクラスがPにある場合、この特別なクラスは二分法ですか、それとも些細な二分法ですか？」

— Miao Dongjing

しかし、二分法の意味は何ですか？

— ミャオドンジン

2SATは二分法ではなく言語です。あなたが述べたように、二分法はがPまたはNP完全（少なくとも有限）であるということです。重要なのは、この「ギャップ」が複雑であることです。型のすべての問題は、「簡単」（Pの場合）または「ハード」（NP完全の場合）であり、間に何もありません。我々がもしPことを知っているので、これは驚くべきことである NPがそこ必要があり、その複雑さ（グラフ同型がそれらのいずれかになります）の中間で問題があることが、いくつかの理由で、フォームの問題、これを表示しません動作。

S A T (S)

$\mathrm{SAT}(S)$

S

$S$

S A T (S)

$\mathrm{SAT}(S)$

\neq

$\neq$

S A T (S)

$\mathrm{SAT}(S)$

— Yuval Filmus

シェーファーの二分法の定理で6つの条件の1つを削除しても、それはまだ二分法と呼ばれていますか？重要なのは「そうでなければNPコンプリートである」ということですが、できるだけ条件をつけたいということですね。

— ミャオドンジン

ついていけません。シェーファーの定理を変更すると、真実ではないステートメントが表示される可能性があります。

— Yuval Filmus

「二分法」という言葉は、ギリシャ語の二分法に由来します。したがって、二分法は「すべてがAまたはBのいずれかであり、両方ではない」という形式の任意のステートメントです。典型的な例は、「あなたは私たちと一緒か、私たちに反対しています」です。SchaefferによるブールCSPの二分法（「一般化された充足可能性」と呼ぶ）も別の例です。ブール関係の有限集合ごとに、対応する充足可能性の問題は、Pにあるか、NP完全であるかのいずれかです（ただし、P NP）。クラトフスキーの定理も二分法です：すべてのグラフは平面であるか、または（トポロジー）マイナーとしてまたはを含みます。 $\neq$ $K_5$ $K_{3,3}$

二分法は話の終わりではなく、より詳細な分類を作成できる可能性があることに注意してください。あなたは完全に私たちと一緒にいるか、少しだけ私たちに反対しているかもしれません。シェーファーの定理の多項式時間例は、他の人（Allender、Bauland、Immerman、Schnoor、フェラー、より簡単でのいくつか：「精錬シェーファーの定理充足問題の複雑さ」。コンピュータとシステム科学誌、75：245-254、 2009.）

— デイビッド・リチャービー
ソース