モノトーンの複雑さ（+、2）SAT問題？

この投稿を続けるには、モノトーンを定義しましょう$(+, 2^-)$-SATの問題：

単調CNF式を与え、各変数が一度だけ（正リテラルとして）表示される場所、および単調2-CNF式と同じ変数に定義された、すべての変数がネゲートされます。ある満足できますか？$F^+$$F_2^-$$F^+$$F^+ \land F_2^-$

この問題はNP完全ですか？

これはNP完全です。実際、が3-CNF形式（CNFだけではない）に制限されている場合でも、NPは完全なままです。$F^+$

証明は、この問題が少なくともグラフの3色彩度のテストと同じくらい難しいことを示しています。綺麗で上品な対応です。ましょう無向グラフです。変数の導入して、およびについて、グラフの3色を表します。ここでは、頂点に色を指定したことを意味します$G=(V,E)$$x_{v,c}$$v \in V$$c \in \{1,2,3\}$$x_{v,c}$$v$$c$。

各頂点が少なくとも1つの色を受け取る必要があることを表すために、句を導入します $x_{v,1} \lor x_{v,2} \lor x_{v,3}$ 各頂点 $v$。これは私たちに与えます$F^+$、すなわち、

単一のエッジの2つの端点が同じ色を受け取らないことを表すために、句を導入します $\neg x_{u,c} \lor \neg x_{v,c}$ 各エッジ $(u,v) \in E$。そして、どの頂点も複数の色を受け取ることができないことを表すために、節を導入します$\neg x_{v,c} \lor \neg x_{v,c'}$ それぞれに $c,c' \in \{1,2,3\}$ そのような $c\ne c'.$ しましょう $F^-_2$ 対応する式を示します。

次に、それを見るのは簡単です $F^+ \land F^-_2$ 次の場合にのみ満たされます $G$3色あります。実際、それぞれの満足する割り当て$F^+ \land F^-_2$ の3色に直接対応 $G$、 およびその逆。したがって、このクラスの数式の充足可能性をテストすることは、無向グラフの3色性をテストすることと少なくとも同じくらい難しいため、NP困難になります。