依存型理論の宇宙

11

依存型理論については、ホモトピー型理論のオンラインブックで読んでいます。

セクション1.3にタイプ理論章、それの階層構造の概念導入ユニバース： $\mathcal{U}_0 : \mathcal{U}_1 : \mathcal{U}_2 : \cdots$ 、ここで

すべてのユニバース $\mathcal{U}_i$ は、次のユニバース要素です $\mathcal{U}_{i+1}$ 。さらに、私たちの宇宙は累積的であると仮定します。つまり、 $i^{\mathrm{th}}$ 宇宙のすべての要素は $(i+1)^{\mathrm{th}}$ 宇宙の要素でもあるということです。

それでも、付録Aのさまざまなタイプの形成ルールを見ると、一見したところ、宇宙がバーの上に前提として表示されている場合、同じ宇宙が下に表示されています。たとえば、連産品タイプ形成ルールの場合：

\frac{Γ ⊢ A : U_{i} Γ ⊢ B : U i}{Γ ⊢ A + B : U_{i}} (+ - F O R M)

$\dfrac{\Gamma \vdash A : \mathcal{U}_i \quad \Gamma \vdash B : \mathcal{U}i}{\Gamma \vdash A + B : \mathcal{U}_i}(+\mbox{-}FORM)$

だから私の質問は、なぜ階層が必要なのですか？どのような状況で、宇宙から階層の1つ上の階層にジャンプする必要がありますか？任意の組み合わせで与えられたか、本当に私には明らかにされていません、あなたがタイプで終わることができますでないで。より詳細には：付録A.2.4、A.2.5、A.2.6、A.2.7、A.2.8、A.2.9、A.2.10、A.3.2、いずれかのセクションで形成ルール言及で前提と判断、または判断のみ。 $A_m: \mathcal{U}_i$ $B$ $\mathcal{U}_i$ $\mathcal{U}_i$

この本は、ユニバースを割り当てる正式な方法があることも示唆しています：

引数が正しいかどうか疑わしい場合は、その引数をチェックする方法は、引数に出現するすべてのユニバースに一貫してレベルを割り当てることを試みることです。

レベルを一貫して割り当てるためのプロセスは何ですか？

$\mathcal{U}:\mathcal{U}$ $\mathcal{U}_j$ $\mathcal{U}_i$ $j > i$

type-theory homotopy-type-theory dependent-types

— Huynhjl
ソース

1

@huynhjlパラドックスを回避するためにユニバースを使用する必要はありません。たとえば、ZFセット理論もクインのNFも使用せず、2つの代替数学基盤がそれらを使用します。ユニバースはパラドックスを回避するのに便利な方法であり、同時に非常に表現力豊かなタイプを構築する機能も備えています。

— Martin Berger

14

A \to U_{i}

$A \rightarrow \mathcal{U}_i$

A \to U_{i}

$A \rightarrow \mathcal{U}_i$

U_{i}

$\mathcal{U}_i$

U_{i} : U_{i}

$\mathcal{U}_i : \mathcal{U}_i$

U

$\mathcal{U}$

\frac{⊢ Γ : c t x}{Γ ⊢ U_{i} : U_{i + 1}},

$\frac{\vdash \Gamma : ctx}{\Gamma \vdash \mathcal{U}_i : \mathcal{U}_{i+1}},$

— マーティン・バーガー
ソース

12

$X : \mathcal{U}_i$ $i \leq j$ $X : \mathcal{U}_j$ $A : \mathcal{U}_{42}$ $A \to \mathcal{U}_{99}$ $\to$

\frac{Γ ⊢ X : U_{i} Γ ⊢ Y : U_{i}}{Γ ⊢ (X \to Y) : U_{i}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_i}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_i}$

X \to Y

$X \to Y$

Π_{x : X} Y

$\Pi_{x : X} Y$

Π

$\Pi$

A

$A$

U_{42}

$\mathcal{U}_{42}$

U_{99}

$\mathcal{U}_{99}$

U_{100}

$\mathcal{U}_{100}$

A : U_{100}

$A : \mathcal{U}_{100}$

A \to U_{99}

$A \to \mathcal{U}_{99}$

U_{100}

$\mathcal{U}_{100}$

$\to$

\frac{Γ ⊢ X : U_{i} Γ ⊢ Y : U_{j}}{Γ ⊢ (X \to Y) : U_{max (i, j)}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_j}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_{\max(i,j)}}$

\frac{Γ ⊢ X : U_{i} Γ ⊢ Y : U_{j} i \leq k j \leq k}{Γ ⊢ (X \to Y) : U_{k}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_j \qquad i \leq k \qquad j \leq k}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_k}$

— アンドレイ・バウアー
ソース