Typeを想定した場合の誤った命題の例：Type

型理論では、型がそれ自体のメンバーになることを許可すると、理論に矛盾が生じます。私はそれを集合論のラッセルのパラドックスに類似して理解しますが、型理論でそれが行われるのを見たいと思います。型理論における同等の短い例はありますか？

関連する文献は次のとおりです。

Thierry Coquand 型理論の新しいパラドックス （リンク）。彼は彼のパラドックスをシステムよりやや弱いシステムで説明しています

Type : Type

しかし、それは上記に簡単に運ぶことができます。主な考え方は、集合論にはシステムFのモデルがないというレイノルズの証明を取り入れることです。次の形式の初期代数を作成します。

$$A\simeq (A \rightarrow \mathrm{2}) \rightarrow \mathrm{2}$$

ここで、は2つの要素を持つセットであり、カーディナリティ引数によって矛盾を導き出します。Coquandショー$\mathrm{2}$

1. 上記の型理論でこの推論を実行できます
2. そこであるという理論的にはシステムFのモデルが。これは矛盾をもたらします。

2番目の記事はAntonius Hurkensによるもので、タイトルはA Girard's paradox （link）の単純化です。証明には、「すべての根拠のあるタイプのタイプ」の構築が含まれます。一般的な考え方は明確に見えますが、詳細はかなり悪魔的です。

には、単純で理解しやすい矛盾はありません。しかし、矛盾から得られた証明項は比較的扱いやすいです：それらを定義するには数行だけで十分です。$\mathrm{Type} : \mathrm{Type}$

Alexandre Miquelは、論文の論文で、集合の先のとがったグラフ解釈を使用することにより、これらの矛盾する型システムで単純集合理論のモデルを構築できることを示しました。その後、ラッセルのパラドックスを直接適用することができます。残念ながら、モデルの作成には少し手間がかかり、論文はフランス語です。