通常のエキスパンダーグラフを実際に構築する方法は?


14

n個の頂点のいくつかの小さな固定d(3または4など)のd正規展開グラフを作成する必要があります。

これを実際に行う最も簡単な方法は何ですか?エキスパンダーとして証明されているランダムなd-regularグラフの作成?

また、拡張子であるマルグリス構造とラマヌジャングラフ、およびジグザグ製品を使用した構造についても読みました。ウィキペディアでは、わかりやすいが非常に短い概要を示しています。http//en.wikipedia.org/wiki/Expander_graph#cite_note-10 しかし、実際にはどの方法を選択しますか

私にとって、これらの方法はすべて実装が非常に複雑で、特に理解が難しく、非常に具体的であると思われます。d-regularエキスパンダーグラフのシーケンスを実際に生成するための、おそらく置換などに基づいた簡単な方法はありませんか?

d-regular二部展開エキスパンダーグラフを作成する方が簡単でしょうか?

別の質問もあります:不良なd-regularエキスパンダーのファミリーはどうですか?そのような概念は理にかなっていますか?エクスパンダの意味で可能な限り悪いd-regularグラフ(もちろん接続されている)のファミリを構築できますか?

前もって感謝します。


2
リストしたものよりも簡単な明示的な構造がありますが、ランダムグラフはトリックを実行し、より良いパラメーターを持つ必要があります。
ユヴァルフィルマス

構造の名前または参照を与えることができますか?より良いパラメーターとは、より良い(エッジ)展開を意味すると思いますか?
user2145167

1
アンドラスは私が念頭に置いた例を挙げましたが、一般的に、ランダムグラフは明示的な構成よりも(ほとんどの場合)優れています。エッジ拡張が大きくなるだけでなく、アルゴリズムに役立つ他の同様のプロパティは、おそらくランダムなグラフによって自動的に満たされます。
ユヴァルフィルマス

わかりました。3度目のAndrásの例またはランダムグラフは、私のアプリケーションに十分なようです。特にランダムグラフに関しては、エキスパンダーではない3-regグラフファミリを構築することは興味深いでしょう。しかし、これはおそらく非常に難しいか不可能ですか?
user2145167

3
の和集合を取ります。接続されたグラフが必要な場合は、各K 4から1つのエッジを削除し(ダイアモンドグラフと呼ばれるグラフを形成)、それらをサイクルで接続します。K4K4
ユヴァルフィルム

回答:


9

自己ループのあるグラフを気にしない場合、「最も簡単な」エキスパンダーファミリはおそらくこれであり、3正規のエキスパンダを提供します。

いくつかの素数から始め、0からp 1までの番号が付けられた頂点を作成します。すべての頂点u 0についてuu 1およびu + 1に接続しpを法とします。また、接続のuを独自の頂点にVするように、uはV 1p0p1u0uu1u+1puvあなたはv1モッドp

例として、ファミリの7頂点グラフは、サイクルの周りに順番に番号が付けられた7サイクルです。自己ループが存在するに0、および1。最後に、35、および24を結合するコードがあります。6013524

詳細な 議論と参照については、https://mathoverflow.net/questions/124708/an-expander-graphを参照してくださいCSTheoryMath.SE、およびMOで「expander」を検索すると、より詳細なポインターがたくさんあります。

Yuval Filmusが指摘しているように、ランダムな構築は一般的にはより良い結果を与える可能性が高いですが、もちろん、エキスパンダーを生成しない可能性があります(特に小さなグラフの場合)。


発言ありがとうございます。私は以前に他のサイトでエクスパンダーを検索しましたが、MOでは検索していませんでしたが、実際にはもっと多くの結果があるようです。
user2145167

弊社のサイトを使用することにより、あなたは弊社のクッキーポリシーおよびプライバシーポリシーを読み、理解したものとみなされます。
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.