Hidoku NPは完全ですか？

Hidokuは、1からまでの事前に入力された整数を持つグリッドです。目標は、グリッド内の連続する整数（）のパスを見つけることです。より具体的には、グリッドの各セルには異なる整数を含める必要があり、値各セルには値隣接セルが必要です（斜めにすることもできます）。 $n \times n$ $n^2$ $n^2$ $n^2$ $z ≠ n^{2}$ $z + 1$

特定のHidokuが解決可能かどうかを判断するのはNPにとって難しいですか？どのような削減を使用できますか？

編集：コメントによると、私は少し説明をします。セルのグリッドが与えられると、それらのいくつかは既に値（1からn²の整数）を含んでいます。2つのセルが同じ値を持たず、値すべてのセルが値隣接セルを持つように、残りのすべてのセルを整数で埋める必要があります。つまり、セルに入力した後、パス見つける必要があります。各セルに論理的にアクセスするグリッド内。 $n^2$ $z ≠ n²$ $z + 1$ $1, 2, 3,\cdots, n^2$

Hidoku woudの例はhttp://www.janko.at/Raetsel/Hidoku/018.c.gifです。すでに解決済みのHidokuはhttp://diepresse.com/images/uploads/3/f/7/586743/spectrumsommerraetsel_7august_hidoku_schwer_loesung20100810172340.gifであり、ここで参照しているパスを確認できます。

complexity-theory reductions np-hard

— ipsec
ソース

直感的には、あまり考えなくても、一見するとポリタイムで解けるように聞こえます。許可された値（

1, \dots, n^{2}

$1, \dots, n^2$ ）と頂点（

v_{1}, \dots v_{n}

$v_1, \dots v_n$ ）の動的プログラミングのようなもの。時間

解ける音

O (n^{3})

$O(n^3)$ 。

— PAL GD

これは、

後継ノードであるノードをエッジで接続するグラフとして同等にモデル化できます

N

$\mathbb{N}$ 。次に、ハミルトンパスを探しています。Itaiらによるグリッドグラフのハミルトンパスによると。（1982）この問題は、グリッドグラフではNP完全です。対角線接続を許可しているので、これはすぐには問題に合いませんが、悪い兆候です。

— ラファエル

@Raphaelは構築されたグラフはDAGではありませんか？

— PAL GD

これがDAGであることがわかりません。私が理解している限り、入力は（無向）グリッドグラフ（対角線エッジも含む）であり、目標は、パス上のいくつかのノードの位置が指定されているハミルトニアンパスを見つけることです。

— ジョージ

@George Okey、質問をグリッド内の値が増加する最大パスを見つけると解釈しました！

— PAL GD

回答:

私はそれが完全だと思います：ラファエルが気づいたように、穴のある問題のグリッドグラフ上のハミルトニアンサイクルはNP完全です（Alon Itai、Christos H.Papadimitriou、Jayme Luiz Szwarcfiter：Hamilton Paths in Grid Graphs.SIAM J 。計算11（4）：676-686（1982））。 $\sf{NP}$

したがって、グリッドグラフに穴がある場合、初期の固定セルがすべての対角線を埋める同等のHidokuゲームを簡単に構築できます。空の奇数の対角線は、元のグリッドグラフと同等の無向グラフを形成します。元のグリッドグラフにハミルトニアンパスがある場合にのみ、Hidokuには解があります。 $G$ $G$

ここに画像の説明を入力してください

図1：穴とそれに相当する Hidokuパズル（青いセルは最初の固定番号付きセル（は最初、は最後）を表すグリッドグラフ、白いセルはプレイヤーが入力する必要があるセル、紫色行は、最初の固定番号付きセルのシーケンスを示します）。 $12 \times 12$ $1$ $144$

補助（塗りつぶし）行を下または右側に追加して、正方形にすることができます。

グリッドグラフからHidokuパズルへの縮小の別の例：6x4グリッドグラフは、より大きな13x13グリッドに埋め込まれています。偶数の対角線は固定数で埋められ、残りのフリーセルは元のグリッドグラフと同等です。

ここに画像の説明を入力してください

変換の全体像はこちらからダウンロードできます。

答えを完成させるための追加の注意事項：

この問題はHidatoとしても知られています。ボードは任意の形状にすることができます（ただし、正方形の場合の一般化として、NPハードのままです）。
Steven Stadnickiの答えで正しく証明されているように、初期の部分的に満たされたグリッドが整数の配列として与えられていないが、簡潔な表現で与えられている場合、NPに問題があることは明らかではありません; ただし、整数表現の合理的なリストを使用して最初のボードが指定されている場合、明らかにNPにあります。 $n \times n$
ゲームの元のルールは解決策はユニークであるべきだと言っていると思います; そのため、問題は米国（米国では困難）にあり、NPにはありそうにありません。

要約すると、一意のソリューション制約を削除し、整数のリストで初期ボードを指定すると、ゲームは -completeです。 $n^2$ $\sf{NP}$

— Vor
ソース

これはDAGではありませんか？質問を完全に誤解しましたか？

— PAL GD

@PålGD：いいえ、DAGとは思いません。斜めのエッジを持つ無向のグリッドグラフです。ゲームは、部分的に満たされたボードで始まり、プレイヤーは、セル1から開始し、直交または斜めのステップを作る最後の1に達する必要があります（おそらく、私はrememeberルールは非常によく...今私はそれをチェックしません）

— はVor

しかし、「連続する整数のパスを見つける」と書かれています。

— PAL GD

おそらくそれは単にそれが二度同じセルを訪れることができないことを意味し、すべてのセルが訪問しなければならないこと

— はVor

1

$1$

n^{2}

$n^2$

$n\times n$ $\Omega(n)$ $n$ $\lg n$ $(x_i, y_i, w_i): x_i, y_i\leq n, w_i\leq n^2$ $(x_i, y_i)$ $w_i$ $\lg n + \lg n + \lg n^2 = 4\lg n\in O(\lg n)$ $\Omega(n)$ $o(n)$

$\Omega(n)$

（同様の問題の議論については、cstheory.SEサイトで簡潔な Nurikabeの複雑さについてのしばらく前の私の質問を参照してください。）

— スティーブン・スタドニッキ
ソース

単項式でボードのサイズを指定しないと、理不尽な解釈になります。

— デイビッドアイゼンスタット

@DavidEisenstatそれは必ずしも自然な解釈ではありませんが、私には完全に有効な解釈のようです。

— スティーブンスタドニッキー

@StevenStadnicki：同意します。最近、cstheory.stackexchange.comに投稿したBinary PuzzleのNP完全性の証明で同様のメモを作成しました。非単項表現は実際にはそれほど合理的ではありませんが :-)。回答にメモを追加します。また、ソリューションの一意性の問題にも対処する必要があります。元のルールでは、ソリューションは一意でなければならないと考えているからです。

— はVor