多項式階層に関する単純な相互解釈の問題？

したがって、は、インスタンスの検証可能な小さな証人とインスタンスの検証可能な小さな証人のがある問題を表します。これはどのように機能しますか$NP$$YES$$coNP$$NO$

1. $P^{NP}$

2. $NP^{NP}$

3. $coNP^{NP}$

4. 等々？

多項式階層のさまざまなレベルの論理的な解釈があり、およびの目撃者の特性を拡張します。$\mathsf{NP}$$\mathsf{coNP}$

ような 多項述語と多項式がある場合、言語はあります ここに：$L$$\Sigma_k^P$$f$$\ell$

• $\exists |y| \le \ell(|x|)$は、長さが最大でような数が存在することを意味します...$y$$\ell(|x|)$
• $\forall |y| \le \ell(|x|)$は、長さが最大でであるすべてのについて、以下が成り立つことを意味します...$y$$\ell(|x|)$
• $Q$ある場合奇数であるとあれば偶数です。$\exists$$k$$\forall$$k$

同様に、がは、同様の方法で記述できる場合、始まるだけです。$L$$\Pi_k^P$$\forall$

例として、はであり、ようなすべての言語で構成されています 別の例として、はです。$\mathsf{NP}^{\mathsf{NP}}$$\Sigma_2^P$

3番目の例は、これはです。論理的な特徴が何であるかわかりません。$\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$$\Delta_2^P$

に「検証可能な小さな目撃者」に関する問題が含まれていると言うことは、概念的には不正確です。ベリファイアを効率的にする（つまり、多項式時間で実行する）必要があるため、証人は多項式にのみ制限されます。このような設定では、証人の多項式的に長い接頭辞のみが関連する可能性があるため、なぜ多項式的に長い証人を主張するのか。また、「小さい」は、定数または対数を意味する可能性があります。もちろん、それらは多項式時間アルゴリズムによって総当たりされる可能性があるため、使用されません（そして、問題が発生するだけです）。$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

の証明システムの概念が多項式階層を生成するために一般化する方法は、Yuval Filmusが彼の答えで説明している論理的な視点によく似ています。その背後にあるあまり技術的ではない見解を紹介しましょう。$\mathsf{NP}$

QBFに基づく2者間ゲームを検討します。そのようなゲームのインスタンス（またはチェスやチェッカーのようなボードゲームとして想像したい場合は「ボード」）は、式と2人のプレイヤーです。とと言い、順番にと値をそれぞれ選択します。そのような選択のそれぞれが移動を構成します。残りの値がなくなると、数式（つまり、ゲームの最終位置）が評価されます。真の場合は勝ち、偽の場合は勝ちます。$\varphi(x_1, y_1, \ldots, x_m, y_m)$$A$$B$$x_i$$y_i$ A B$A$$B$

このゲームは、次の方法で実存量および普遍量指定子をモデル化します。式が真のQBFである場合、（存在量指定子の役割を果たす）は常に勝利戦略を持ち、一連のを選択できます原因関係なく、値を真であるためにが選んだ（ユニバーサル数量詞の役割を果たしています）。「はい」のインスタンスは、QBFが真であるインスタンスです。つまり、プレー方法に関係なく、常に勝利戦略を持っています。$A$$x_1, \ldots, x_m$$\varphi$$y_1, \ldots, y_m$$B$$A$$B$

$\Sigma_i$とは、動きが持続し、それぞれとが最初に進むゲームに対応します。実際には、とがボーナスとして含まれています。これは、任意の（事前に決定された）動作で進行するゲームのクラスに対応するためです。$\Pi_i$$i$$A$$B$$\textsf{PSPACE}$$\textsf{PH} \subseteq \textsf{PSPACE}$

また、およびは、これらのゲームのかなり退化したケースであることに注意してください。それぞれおよび、まったく移動する機会を得られないからです！たとえば、の "yes"インスタンスの場合、は何もしないことで勝つことができます（ "yes"インスタンスはトートロジーであり、選択に関係なくtrueであるため）。$\Sigma_1 = \mathsf{NP}$$\Pi_1 = \mathsf{coNP}$$B$$A$$\Pi_1 = \mathsf{coNP}$$A$$B$

一般的なゲームに基づいた（特にQBFではない）上記のより一般化されたバージョンもあります。あなたはGoldreichの「計算複雑：概念視点」のセクション5.4「PSPACEとゲーム」で、例えば、それを見つけることができます（ここでは。。ドラフト版へのリンクフリーであり、pを参照してください174だけでなく、頁118から121） 。

$\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$は、多項式時間チューリング簡約（=クック簡約）の下での閉包です。したがって、クック簡約ではクローズされ、ます。実際、Oracleのについては、をクック簡約の下の閉包として定義し、常におよび。また、 および$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}=\mathsf{P}^{\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}}$$\mathsf{A}$$\mathsf{P}^{\mathsf{A}}$$\mathsf{A}$$\mathsf{P}^{\mathsf{A}}=\mathsf{P}^{\mathsf{P}^{\mathsf{A}}}$$\mathsf{NP}^{\mathsf{A}}=\mathsf{NP}^{\mathsf{P}^{\mathsf{A}}}$$\mathsf{coNP}^{\mathsf{A}}=\mathsf{coNP}^{\mathsf{P}^{\mathsf{A}}}$$\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}=\mathsf{P}^{\mathsf{coNP}}$。しかし、Cookの削減は、意思決定の問題に対して少し不自然に感じられます。

はdisguideの関数クラスであり、も偽装の関数クラスであることに注意してください。私たちが書いてみましょう多項式時間計算部分関数のクラスのために、に対応する、すなわち機能クラス、およびに対応する機能クラスのを。部分関数を含めることで、関係のないクラスとの名前の衝突を回避する確立された表記法（A. Selmanによる関数の複雑性クラスの分類法で使用）を使用できます。$\mathsf{P}$$\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$$\mathsf{PF}$$\mathsf{P}$$\mathsf{PF}^{\mathsf{NP}}$$\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$$\mathsf{FP}$

関数のクラスでは、クックの削減がより自然に感じられます。教科書や教授が決定問題だけを見ても大丈夫であると説明したところで、おそらくクック削減（そして暗黙的にはクラス）に遭遇したでしょう。通常、特定のSATインスタンスの辞書式的に最後に満足のいく割り当てを計算するアルゴリズム（）のようなものが記述されています。最初に、オラクルに満足のいく割り当てがあるかどうかを尋ね、次に、が満たされる満足のいく割り当てがあるかどうかをオラクルに続けて尋ねることにより、（バイナリ）変数の値を決定しますすでに決定されている値に設定し、$\mathsf{PF}^{\mathsf{NP}}$$\mathsf{PF}^{\mathsf{NP}}$$x_k$$x_1,\dots,x_{k-1}$$x_k$設定されます。はいの場合、をに設定し、そうでない場合、を設定し。（満足のいく割り当てがない場合の関数は未定義であるため、これは部分的な関数であることに注意してください。）$1$$x_k$$1$$x_k$$0$

ユヴァル・フィルムスの発言について少しお話しさせてください。

3番目の例は、これはです。論理的な特徴が何であるかわかりません。$\mathsf{P}^{\mathsf{NP}}$$\Delta_2^P$

克服するには、2つの困難があります：（1）機能クラスの特性が決定クラスの論理的な特性とは異なる感触を持っている、とは（2）のための少なくとも我々oracleへのクエリの決定論的特性をモデル化する必要があります。$\mathsf{P}^{\mathsf{A}}$$\mathsf{A}$

最初に、決定問題のクラスに対応する部分関数のクラスを見ると、しばらくの間（2）を無視できます。部分関数はポリタイム部分関数、ポリタイム述語、およびような多項式、 ここに：$\mathsf{UPF}$$\mathsf{UP}$$pf$$\mathsf{UPF}^{\Sigma_k^P}$$p$$f$$\ell$$pf(x)=p(x,z)$

• $\exists |y| \le \ell(|x|)$は、長さが最大でような数が存在することを意味します...$y$$\ell(|x|)$
• $\forall |y| \le \ell(|x|)$は、長さが最大でであるすべてのについて、以下が成り立つことを意味します...$y$$\ell(|x|)$
• $Q$ある場合奇数であるとあれば偶数です。$\exists$$k$$\forall$$k$

演算子および。しかし、それでも醜くなり、これが本当に論理的な特徴を構成するかどうかを議論することができます。$\operatorname{BIT}(z,i):=z[i]$$\operatorname{TRUNC}(z,i):=z\left|_{[1,i)}\right.$