NP完全問題は、最大でも多項式空間を使用して解決できます（ただし、指数時間を使用している場合）。

NPCとPSPACEとの関係について読み、最悪の場合の多項式空間要件を持つアルゴリズムを使用してNPC問題を決定論的に解決できるかどうかを知りたいのですが、潜在的に指数時間（2 ^ P（n）ここでPは多項式）を取ります。

さらに、一般的にEXPTIMEに一般化できますか？

私がこれを求めている理由は、NPC問題の縮退したケースを解決するためのプログラムを書いたためであり、ハードインスタンスのために非常に大量のRAMを消費する可能性があり、より良い方法があるのだろうか？参照については、https：//fc-solve.shlomifish.org/faq.htmlを参照してください。

— シュロミ魚
ソース

回答:

一般的に、以下はすべてのアルゴリズムに当てはまります。

仮定 $A$ で実行されることをアルゴリズムである $f(n)$ 時間。その後、 $A$ 以上取ることができなかった $f(n)$ 書き込むので、スペースを $f(n)$ ビットが必要 $f(n)$ 時間。
仮定 $A$ 必要とされるアルゴリズムである $f(n)$ スペース。その後、 $2^{f(n)}$ 時間で、 $A$ はそれぞれの異なる状態を訪れることができるため、 $2^{f(n)}$ 時間以上実行しても何も得られません。

それは次のとおりです。

$\mathbf{NP}$ $\subseteq \mathbf{PSPACE}$

次の図に示すように、statemementはクラス間の関係の一部として知られています。

説明は簡単である：問題 $Q$ $\in$ $\mathbf{NP}$ 多項式の長証明書有する $y$ 。すべての可能な証明書をテストするアルゴリズムは時間 $Q$ を決定するアルゴリズムです。 $\large 2^{n^{O(1)}}$

そのスペース要件は次のとおりです。

$y$ （ $n$ 多項式）
$y$ を検証するために必要なスペース。以来、 $y$ 多項式証明書であり、それ故に、おそらく多項式空間以上を必要としないことができ、多項式時間で確認することができます。

2つの多項式の和も多項式であるため、 $Q$ は多項式空間で決定できます。

例：

仮定 $\varphi$ リテラルで3-CNFのインスタンスであり $x_1 \dots x_n$ と、 $m$ 句。割り当て $f$ いくつかの関数である $f:\{x_1\dots x_n\} \rightarrow \{0,1\}$ 。

それはそれを保持しています：

あり $2^n$ の異なる割り当てが。
割り当て $f$ 与えられると、の値を計算するのに $O(m)$ 時間かかります。したがって、以上のスペースを必要とすることはできません。 $\varphi$ $O(m)$

したがって、可能なすべての割り当てをチェックするアルゴリズム $A$ 、多項式空間を使用し、指数時間で実行し、3-SATを決定します。

それは次のとおりです。

3-SAT $\in \mathbf{PSPACE}$ 、および3-SATは、NP完全であるので、 $\mathbf{NP}$ $\subseteq \mathbf{PSPACE}$

— 液体酸素
ソース

EXPSPACEとEXPTIMEが関係するのはなぜですか？時間と空間は異なるリソースだと思いました。思い浮かぶ1つの例は、暗号化スキームを破ることです。これにはEXPTIMEが必要ですが、一定のスペースが必要です

— WeCanBeFriends

ここで直感的なのは、

スペースを使用する場合、少なくとも

時間を使用する必要があり、同じ状態を再訪する必要があるため、

時間を超える時間を使用しないでください。だからこそPSPACE

EXP

f (n)

$f(n)$

f (n)

$f(n)$

2^{f (n)}

$2^{f(n)}$

\subseteq

$\subseteq$

— lox

あなたの例では、f（n）はO（n）と異なりますか？

— WeCanBeFriends

@WeCanBeFriendsは、一つは、一定のスペースで指数時間を採用することはできません：あなたは、少なくとも使用スペースをする必要がカウントその指数番号まで（例えば、アセンブリ言語のプログラム・カウンタ）（指数対数）多項式である、

— ギガバイト

@gigabytesそれはわかりません。私たちが知っている最良の方法は、

です。

P \neq E X P T I M E

$P\not = EXPTIME$

— トムファンデルザンデン

はい。これが直接証明のスケッチです。

問題が $\mathrm{NP}$ にある場合、それを決定する非決定的チューリングマシン $M$ があり、長さ入力での計算パスのいずれもステップを超えないような多項式 $p$ があります。これは、単一のパスが超える使用できないため、多項式空間で確定的に単一のパスをシミュレートできることを意味します。 $M$ $n$ $p(n)$ $p(n)$

ただし、すべてのパスをシミュレートする必要があります。さて、の遷移関数のみに依存する（入力には依存しない）定数 $c$ があるため、は任意のステップで最大非決定的な選択があります。これは、長さ入力最大で異なる計算パスがあることを意味します。これらすべてのパスを次のようにシミュレートできます。最初に、 -base- 数字を書き（これにはスペース $M$ $M$ $c$ $c^{p(n)}$ $n$ $c^{p(n)}$ $p(n)$ $c$ $p(n)$ が、それは多項式なので、問題ありません）。その後、の操作をシミュレート $M$ でて、 $i$ の計算のステップ目、使用 $i$ 非決定的選択を行うためにどの決定する番号の桁目を。たとえば、 $i$ 番目の桁が $6$ 、選択できる選択肢が4つしかない場合、そのシミュレーションを中止して次のシミュレーションに進みます。

したがって、今、シミュレーション全体を行うために、数字 $0\dots 0$ 書き出すことから始め、 $M$ そのパスをシミュレートし、数字をインクリメントし、次のパスをシミュレートし $c-1$ 。考えられるすべての計算パスをシミュレートし、約スペースを使用して、 $c^{p(n)}p(n)$ について時間内にそれを実行しました。それは、必要に応じて指数時間と多項式空間です。 $2p(n)$

— デビッド・リチャービー
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