PとNPの不平等の矛盾の証明？

私は、階層定理を使用して、NがNPと等しくないことを主張しようとしています。これは私の主張ですが、先生に見せて差し引いたところ、受け入れざるを得ない理由が見つからない問題があると彼は言いました。

まず、$P=NP$仮定します。それが生じること$\mathit{SAT} \in P$自体は、次に、以下のその$\mathit{SAT} \in TIME(n^k)$。現状では、$NP$すべての言語を$\mathit{SAT}$減らすことができます。従って、$NP \subseteq TIME(n^k)$。逆に、時間階層定理は、言語があるべきであると述べています$A \in TIME(n^{k+1})$ではない、$TIME(n^k)$。これは、という結論に私たちを導くでしょう$A$である$P$ないでいる間、$NP$私たちの最初の仮定に矛盾です。したがって、$P \neq NP$あるという結論に達しました。

私の証明に何か問題がありますか？

それが生じること$SAT \in P$自体は、次に、以下のその$SAT \in TIME(n^k)$。

承知しました。

現状では、$NP$すべての言語を$SAT$減らすことができます。従って、$NP \subseteq TIME(n^k)$。

いいえ。多項式の時間削減は無料ではありません。言語LをS A Tに短縮するには、$O(n^{r(L)})$時間かかると言えます。ここで、r （L ）は、使用される多項式時間短縮の指数です。これはあなたの議論が崩れるところです。何有限ありませんKすべてのためになるようにL ∈ N P我々が持っているR （L ）< kが。少なくともこれはP = N Pからは続きません$L$$SAT$$r(L)$$k$$L \in NP$$r(L) < k$$P = NP$ はるかに強力な声明になります。

そして、このより強力なステートメントは、実際に時間階層定理と矛盾します。これは、$P$が$TIME(n^k)$に分解できず、すべての$NP$が分解できないことを示しています。

仮定する$\mathrm{3SAT}\in\mathrm{NTIME}[n^k]$。時間階層定理の非決定論的バージョンにより、いずれかの  $r$、問題のある$X_r\in\mathrm{NTIME}[n^r]$にない$\mathrm{NTIME}[n^{r-1}]$。これは無条件の結果であり、P ≠ Pなどのあらゆる種類の仮定に依存しません。$\mathrm{P}\neq\mathrm{NP}$

$r>k$いずれかを選択します。$X_r$から$\mathrm{3SAT}$への確定的な削減があり、時間$n^t$で実行されるとし  ます。これは、最大でn tのサイズの$\mathrm{3SAT}$インスタンスを  生成し、最大で（n t ）k = n t kで時間内に解決できます。X rの選択により、  t k > r − 1でなければならないため、t > （$n^t$$(n^t)^k=n^{tk}$$X_r$$tk>r-1$$t>(r+1)/k$。この関数は$r$束縛されることなく成長し ます。

これは、任意の$\mathrm{NP}$問題を$\mathrm{3SAT}$に削減するのにかかる時間に制限がないことを意味します。場合であっても$\mathrm{3SAT}\in \mathrm{P}$、全くそれらの削減を取ることができますどのくらいにバインドはまだありません。あれば、具体的には、$\mathrm{3SAT}\in\mathrm{DTIME}[n^{k'}]$いくつかのために  $k'$、我々は、と結論づけることができない$\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{DTIME}[n^{k'}]$、あるいは$\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{DTIME}[n^{k''}]$いくつかのために$k''>k'$。