私の視点の数学は正しいですか？

私は透視変換を使用していくつかのポイントを計算してプロットする必要がある宿題を持っていますが、カメラ座標を使用した3Dプロットは画像座標を使用した2Dプロットとは非常に異なるため、結果が正しいかわかりません。何が間違っているのか理解してもらえますか？

これは与えられたものである：カメラがポイントである、（メートル）の世界座標で指定されました。カメラ座標系は、ワールド参照のY軸を中心に回転するため、その回転行列は $_WT^C = [−1, 1, 5]^T$ $\theta = 160^o$ $^wR_c = \begin{bmatrix}cos(\theta) & 0 & sin(\theta)\\ 0 & 1 & 0 \\ -sin(\theta) & 0 & cos(\theta)\end{bmatrix}$

カメラパラメータは次のとおりです $f = 16mm$ 、 $s_x = s_y = 0.01 mm/px$ 、 $o_x = 320 px$ 、 $o_y = 240px$

サンプルポイント（世界座標）：

$^WP_1 = [1, 1, 0.5]^T$

$^WP_2 = [1, 1.5, 0.5]^T$

$^WP_3 = [1.5, 1.5, 0.5]^T$

$^WP_4 = [1.5, 1, 0.5]^T$

カメラ座標と画像座標でポイントを計算してプロットする必要があるため、Octaveで次のコードを記述しました。

%camera intrinsic parameters
f = 16
Sx = 0.01
Sy = 0.01
Ox = 320
Oy = 240

%given points, in world coordinate
wP1 = transpose([1, 1, 0.5])
wP2 = transpose([1, 1.5, 0.5])
wP3 = transpose([1.5, 1.5, 0.5])
wP4 = transpose([1.5, 1, 0.5])

% camera translation matrix
wTc = transpose([-1, 1, 5])

% rotation angle converted to rad
theta = 160 / 180 * pi

%camera rotation matrix
wRc = transpose([cos(theta), 0, sin(theta); 0, 1, 0; -sin(theta), 0, cos(theta)])

%transform the points to homogeneous coordinates
wP1h = [wP1; 1]
wP2h = [wP2; 1]
wP3h = [wP3; 1]
wP4h = [wP4; 1]

%separate each line of the rotation matrix
R1 = transpose(wRc(1 , :))
R2 = transpose(wRc(2 , :))
R3 = transpose(wRc(3 , :))

%generate the extrinsic parameters matrix
Mext = [wRc, [-transpose(R1) * wTc; -transpose(R2) * wTc; -transpose(R3) * wTc]]

%intrinsic parameters matrix
Mint = [-f/Sx, 0, Ox; 0, -f/Sy, Oy; 0, 0, 1]

% calculate coordinates in camera coordinates
cP1 = wRc * (wP1 - wTc)
cP2 = wRc * (wP2 - wTc)
cP3 = wRc * (wP3 - wTc)
cP4 = wRc * (wP4 - wTc)

% put coordinates in a list for plotting

x = [cP1(1), cP2(1), cP3(1), cP4(1), cP1(1)]
y = [cP1(2), cP2(2), cP3(2), cP4(2), cP1(2)]
z = [cP1(3), cP2(3), cP3(3), cP4(3), cP1(3)]

%plot the points in 3D using camera coordinates
plot3(x, y, z, "o-r")

pause()

% calculate the points in image coordinates
iP1 = Mint * (Mext * wP1h)
iP2 = Mint * (Mext * wP2h)
iP3 = Mint * (Mext * wP3h)
iP4 = Mint * (Mext * wP4h)

%generate a list of points for plotting
x = [iP1(1) / iP1(3), iP2(1) / iP2(3), iP3(1) / iP3(3), iP4(1) / iP4(3), iP1(1) / iP1(3)]
y = [iP1(2) / iP1(3), iP2(2) / iP2(3), iP3(2) / iP3(3), iP4(2) / iP4(3), iP1(2) / iP1(3)]

plot(x, y, "o-r")

pause()

そして、これらはスクリプトから得たプロットです。それらは多少似ていると思っていましたが、そうは見えません。

カメラ座標でプロット

画像座標でプロット

3d mathematics perspective

— ビトー
ソース

宿題の質問が質の高い質問になり得ることを示すための+1。:)

— マーティンエンダー

メタに指摘し、この質問は良い答えに値するです。私自身は持っていませんが、持っている人に私の評判の一部を伝えたいです。

— -trichoplax

@trichoplax問題は、matlabで行われることです。

— -joojaa

@joojaa良い点。賞金期間中にmatlabの専門家が介入しない場合は、Octaveを学習して解決策を見つけるのに十分かどうかを検討することを検討します。

— trichoplax

最初の画像が何を意味するのか、私にはあまりはっきりしていません。2番目はカメラの視点からのものであり、エンベロープ推定の裏側では、正しく見えると思います。

— ジュリアンゲルトー16

両方の図で軸を特定し、カメラ位置を最初の図に追加すると、何が起こっているのかを理解するのに役立ちます。

$x$ $y$ $z$

$[0, 0, 1]$ $[0, 1, 0]$

$0.016$ $S_x = S_y = 0.0001$ $0.00001$

$[-1,1,x]$ $z=0.5$ $x$ $tan(160°) \cdot (5 - 0.5) = 1.64...$ $x=-1$ $\approx 0.64$ $y$ $y$

答えを確認する良い方法は、Blenderのような既存の3Dモデラーを使用することです[0, 0, -1]。たとえば、デフォルトのカメラベクトルは、Blenderの座標系に注意してください。レンダリングは次のとおりです。Focalは、球体をより見やすくするために別の値に設定されました。そのため、下の2つのポイントは画像の中央の行にあり、ポイントは画像の少し右にあります。

Pythonで宿題を実装しました。

import numpy as np

from matplotlib import pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import axes3d, Axes3D


# Parameters
f_mm = 0.016
f_px = f_mm / 0.00001
t_cam = np.array([[-1., 1., 5.]]).T
t_cam_homogeneous = np.vstack((t_cam, np.array([[0]])))
theta = 160. * np.pi / 180.
ox = 320
oy = 240
# Rotation and points are in homogeneous coordinates
rot_cam = np.array([[np.cos(theta), 0, np.sin(theta)],
                    [0, 1, 0],
                    [-np.sin(theta), 0, np.cos(theta)]])
points = np.array([[1, 1, 0.5, 1],
                   [1, 1.5, 0.5, 1],
                   [1.5, 1.5, 0.5, 1],
                   [1.5, 1, 0.5, 1]]).T

# Compute projection matrix using intrinsics and extrinsics
intrinsics = np.array([[f_px, 0, ox],
                       [0, f_px, oy],
                       [0, 0, 1]])
extrinsics = np.hstack((rot_cam, rot_cam.dot(-t_cam)))

rot_cam2 = np.identity(4); rot_cam2[:3,:3] = rot_cam
camera_coordinates = rot_cam2.dot(points - t_cam_homogeneous)
camera_coordinates = camera_coordinates[:3,:] / camera_coordinates[3,:]

# Perform the projection
projected_points = intrinsics.dot(camera_coordinates)
projected_points = projected_points[:2,:] / projected_points[2,:]
projected_points[0,:] = -projected_points[0,:] # Inverted x-axis because camera is pointing toward [0, 0, 1]

fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.scatter(points[0,:], points[1,:], points[2,:], label="Points")
ax.scatter(t_cam[0], t_cam[1], t_cam[2], c="red", label="Camera")
ax.set_xlabel("X axis"); ax.set_ylabel("Y axis"); ax.set_zlabel("Z axis")
plt.title("World coordinates")
plt.legend()
plt.savefig('world_coordinates.png', dpi=300, bbox_inches="tight")

fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.scatter(camera_coordinates[0,:], camera_coordinates[1,:], camera_coordinates[2,:], label="Points")
ax.scatter(0, 0, 0, c="red", label="Camera")
ax.set_xlabel("X axis"); ax.set_ylabel("Y axis"); ax.set_zlabel("Z axis")
plt.title("Camera coordinates")
plt.legend()
plt.savefig('camera_coordinates.png', dpi=300, bbox_inches="tight")

plt.figure()
plt.scatter(projected_points[0,:], projected_points[1,:])
plt.xlabel("X axis"); plt.ylabel("Y axis")
plt.title("Image coordinates")
plt.savefig('image_coordinates.png', dpi=300, bbox_inches="tight")

plt.show()

これにより、これらの数字が得られます：それぞれ、ワールド座標、カメラ座標、カメラの向きにわずかに合うように回転されたカメラ座標（ここでは、カメラベクトルはフィギュアの視点に向かっており、フィギュアに「入らない」ことに注意してください）および画像座標。

下のポイントの垂直座標は中央の行（240）に正しくあり、ポイントは画像の右側にあります（水平値> 320）。

あなたが持っていたバグの1つは、負のX値を見つけたため-f/Sxy、補正するために組み込み行列の焦点（）を否定したことだと思います。ここでの問題は、カメラが最初に向けていたと仮定したことです $[0, 0, 1]$ $x$

両方の結果は私に似ているように見えますが、 $[0, -1, 0]$

— ソラブ
ソース