頭の上に星がありますか？

48

私がまっすぐに立っているとしましょう、そして私は私のコアから私の頭の頂部まで地面に垂直に直線を引きます。その線が星と交差する確率はどのくらいですか？

編集：星を除外しようとはしていません。これには、観測された星とまだ観測されていないが、決定した他の事柄（宇宙の全体的な星密度など）によって予測できる星が含まれている必要があります。また、肉眼の大きさの制限に関係なく、すべての星を含める必要があります。

— user68873
ソース

3

おそらくあなたは肉眼で見ることができる星でしょうか？マグニチュードリミットがより暗い星に向かって増加すると、確率は1に非常に近くなります...

— astrosnapper

2

@astrosnapperは、宇宙の年齢が有限であることから明らかではありません。

— スティーブリントン

15

関連：オルバースのパラドックス

— マイクG

4

関連：宇宙を半分にスライスした場合、スライスは星を通過しますか？

— ルーン

1

@TaW：それがどのように関連するのか分かりませんか？しかし、頭が約6インチ離れている場合、約1マイクロ度の角度差があります。太陽は地球から約0.5度の位置にあるため、2人が太陽の下にいることがあります。（実際、平均で40000人以上が太陽の下にいます。）

— MichaelS

85

概要

天の川の外の星の下にいる確率は5,000億に1つ、天の川の星の下にいる確率は33億に1つ、太陽の下にいる確率は184,000に1です今。

大きく、太って、臭い、警告！私は自分の数学をまっすぐに保つために最善を尽くしましたが、これは私が思いついたすべてのものです。私はそれが完全に正確であることを保証しませんが、数字は健全性チェックに合格したようですので、私たちは良いと思います。

_{最初の警告：太陽以外の星の数は、宇宙の星の数や星の平均サイズなど、非常に不確実性の高いデータに基づいています。上記の数値は、どちらの方向でも10倍簡単にオフになる可能性があり、単に空きスペースの大まかな概念を示すことを目的としています。}

_{2番目の警告：太陽と天の川の数値は、地球上のランダムな地点に立っている（または浮いている）という仮定に基づいています。熱帯地方以外では、太陽が頭上にあることはありません。北半球の人々は、頭上に天の川の星を持っている可能性が高く、最も可能性が高いのは、北緯36.8°の人々です。その緯度では、1日1回、銀河中心をまっすぐ通過するからです。²⁶}

_{注：この答えのほとんどすべてを無視して、太陽の立体角を調べるだけで同じ結果が得られます。他のすべての星は本当に遠くにあり、非常に広がっています。宇宙の残りの部分を太陽に追加すると、立体角の差は5分の1パーセント増加します。}

バックグラウンド

少し現実的な、ハードな数値を取得してみましょう。そのためには、いくつかの仮定が必要です。

Michael Walsby's answer ¹で指摘したように、宇宙が無限（および同種²）である場合、スターオーバーヘッドが存在しない可能性は無限にあり、通常の数学では正確にゼロチャンスとして扱われます。宇宙は有限であると仮定しましょう。

推定

具体的には、宇宙は観測可能な宇宙のみで構成されていると仮定しましょう。（詳細については、ユニバース^3の拡張を調べてください。）
さらに、観測可能な宇宙の内容は、そのように見える位置ではなく、現在の（推定）位置で測定されると仮定しましょう。（宇宙が始まってから4億年後の星からの光を見ると、それは約135億光年離れていると測定しますが、膨張のために450億光年近くにあると計算します。）
観測可能な宇宙の星の数を $10^{24}$ ます。2013年の推定⁴は $10^{21}$ で、2014年の推定⁵は $10^{23}$ で、2017年の推定⁶は $10^{24}$ でした。各記事は、時間とともにより良い望遠鏡が得られるにつれて推定が増加することを期待しています。そのため、最高の値を使用して使用します。
我々は、観察可能な宇宙のサイズ取る⁷ことが $8.8\cdot10^{26} \text{m (diameter)}$ の表面積を与え、⁸の $2.433\cdot10^{54} \text{m}^2$ ⁹、及びボリューム¹⁰の $3.568\cdot10^{80} \text{m}^3$ ¹¹。
私たちは、太陽の大きさであるように星の平均サイズを取るよ $1.4\cdot10^{9}\text{m (diameter)}$ ¹²。（平均的な星の大きさのソースは見つかりません。太陽が平均的な星であるというだけです。）

型

ここから、少しカンニングをします。現実的には、各銀河を個別にモデル化する必要があります。しかし、私たちは、宇宙全体が完全に均一であるふりをするだけです（これは、宇宙の壮大な計画で地球から遠くなるほど十分に真実です）。さらに、天の川と太陽を完全に無視するのに十分なカウントを開始し、後で異なる計算でそれらを再び追加します。

上記の仮定を考えると、観測可能な宇宙の星の密度を簡単に計算して、することができます $\delta = \frac{10^{24}\text{stars}}{3.568\cdot10^{80} m^3} = 2.803\cdot10^{-57} \frac{\text{stars}}{\text{m}^3}$ ¹³。

次に、星で定義された立体角¹⁴を計算する必要があります。球の立体角は次式で与えられる。 $\Omega=2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d^2-r^2}}{d}\right)\text{ sr}$ ¹⁵（ $\Omega$ はステラジアン¹⁶（sr）の立体角）、 $d$ は球体までの距離、 $r$ は球体の半径です。使用して $D$ 直径とその変換 $\Omega=2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d^2-\left(\frac{D}{2}\right)^2}}{d}\right)\text{ sr}$ 。（上記推定平均直径所与 $1.4\cdot10^{9}\text{m}$ ）、これは、平均立体角が得られる $\Omega=2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d^2-4.9\cdot10^{17}\text{m}^2}}{d}\right)\text{ sr}$ ¹⁷。

この時点で、適切な積分を設定できましたが、私の計算はかなり錆びており、最初はあまりシャープではありません。そこで、厚さが $10^{22}\text{m}$ （約100万光年）の一連の同心円状のシェルを使用して、回答を概算します。最初のシェルを $10^{22}\text{m}$ 離してから、そこから出ていきます。

各シェルの合計立体角を計算し、すべてのシェルを一緒に追加して、観測可能な宇宙全体の範囲を定める立体角を取得します。

ここで修正する最後の問題は、重複の問題です。遠方のシェルのいくつかの星は、近くのシェルの星と重なり、全体のカバレッジを過大評価します。そのため、特定の星が重なり合う確率を計算し、そこから結果を修正します。

特定のシェル内のオーバーラップを無視し、シェル内のすべての星が一定の距離にあり、シェル全体に均等に分布しているようにモデリングします。

オーバーラップの確率

与えられた星がより近い星と重なるためには、より近い星によって既に覆われた位置にある必要があります。この目的のために、オーバーラップをバイナリとして扱います。星は完全にオーバーラップするか、まったくオーバーラップしないかのいずれかです。

$4\pi\text{ sr}$

$i$ $P_i$ $\Omega_i$ $n$ $k$ $\Omega_{kT}=(1-P_1)\Omega_1+(1-P_2)\Omega_2+\ldots+(1-P_n)\Omega_n\frac{\text{ sr}}{star}$ $P_i$ $i$ $\Omega_{kT}=(1-P_k)(\Omega_1+\Omega_2+\ldots+\Omega_n)\frac{\text{ sr}}{star}$ $P_k$ $k$ $\Omega_{kT}=(1-P_k)\Omega_k n\frac{\text{ sr}}{star}$ $\Omega_k$ $k$

立体角の計算

$V_\text{shell}=4\pi d^2 t$ $d$ $t$ $\delta$ $n=\delta V_\text{shell}=\delta 4\pi d^2 t$

$\Omega_{kT}=(1-P_k)\Omega_k \delta 4\pi d^2 t\frac{\text{ sr}}{star}$

$P_k$ $\Omega_k$ $\Omega_k=2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d_k^2-4.9\cdot10^{17}\text{m}^2}}{d_k}\right)\frac{\text{ sr}}{star}$

$\Omega_{kT}=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d_k^2-4.9\cdot10^{17}\text{m}^2}}{d_k}\right) \delta 4\pi d^2 t\text{ sr}$ $10^{22}\text{m}$ $d_k$ $k 10^{22}\text{m}$ $t$ $10^{22}\text{m}$ $\delta=2.803\cdot10^{-57} \frac{\text{stars}}{\text{m}^3}$

$\Omega_{kT}=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)2\pi\left(1-\frac{\sqrt{(k 10^{22}\text{m})^2-4.9\cdot10^{17}\text{m}^2}}{k 10^{22}\text{m}}\right) 2.803\cdot10^{-57}\frac{\text{stars}}{\text{m}^3} 4\pi (k 10^{22}\text{m})^2 10^{22}\text{m}\frac{\text{ sr}}{star}$

$=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)\left(1-\frac{\sqrt{k^2 10^{44}-4.9\cdot10^{17}}}{k 10^{22}}\right) 2.803\cdot10^{-57} 8\pi^2 k^2 10^{66}\text{ sr}$

$=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)\,2.213\cdot 10^{11}\,k^2\left(1-\frac{\sqrt{k^2 10^{44}-4.9\cdot10^{17}}}{k 10^{22}}\right)\text{ sr}$

ここから、計算プログラムに数値をプラグインするだけです。

$\Omega_{T}=\sum_{k=1}^{k_\text{max}} \Omega_{kT}$

$k_\text{max}$ $k_\text{max}$ $=\frac{4.4\cdot 10^{26} \text{m}}{10^{22} \text{m}}$ $=4.4\cdot 10^4$ $=44000$

$\Omega_{T}=\sum_{k=1}^{44000} \Omega_{kT}$

結果

$2.386\cdot 10^{-11}\text{ sr}$ $1.898\cdot 10^{-12}$

このために天の川と太陽を無視したことに注意してください。

_{C ++プログラムはPasteBin ^25にあります。ttmathを適切に機能させる必要があります。C ++コードの上部にいくつかの指示を追加して、機能させたい場合に開始できるようにしました。それはエレガントでも何でもありません、機能するのに十分です。}

太陽

$6.8\cdot 10^{-5}\text{ sr}$

天の川

天の川のサイズと密度を取得し、上記と同じ計算を行うことで、より小さなスケールで天の川の近似値を得ることができました。ただし、銀河は非常に平らであるため、偶然、銀河面に立っているかどうかに大きく依存します。また、私たちは片側に向かっているので、銀河中心に向かう星は遠くよりもはるかに多くあります。

$5\cdot 10^{20}\text{ m}$ $2\cdot 10^{16}\text{ m}$ $1.571\cdot 10^{58}\text{ m}^3$

_{銀河の半径の現在の推定値は100000光年^{21 22}に近いですが、星の大部分はそれよりずっと近いと推測しています。}

$\delta = \frac{200\cdot10^{9}\text{stars}}{1.571\cdot 10^{58}\text{ m}^3} = 1.273\cdot10^{-47} \frac{\text{stars}}{\text{m}^3}$

$10^{17}\text{ m}$ $1.554\cdot 10^{19}\text{ m}$

$\Omega_{T}=\sum_{k=1}^{155} \Omega_{kT}$

上記の式（立体角の計算）を使用して、数値の代入を開始できます。

$\Omega_{kT}=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d_k^2-4.9\cdot10^{17}\text{m}^2}}{d_k}\right) \delta 4\pi d^2 t\frac{\text{sr}}{\text{star}}$

$=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)2\pi\left(1-\frac{\sqrt{(k\cdot 10^{17}\text{ m})^2-4.9\cdot10^{17}\text{ m}^2}}{k\cdot 10^{17}\text{ m}}\right) 1.273\cdot10^{-47} \frac{\text{stars}}{\text{m}^3} 4\pi (k\cdot 10^{17}\text{ m})^2 10^{17}\text{ m}\frac{\text{sr}}{\text{star}}$

$=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)\left(1-\frac{\sqrt{k^2\cdot 10^{34}\text{ m}^2-4.9\cdot10^{17}\text{ m}^2}}{k 10^{17}\text{ m}}\right) 1.273\cdot 10^{-47} \frac{\text{stars}}{\text{m}^3} 8\pi^2 k^2 10^{51}\text{ m}^3\frac{\text{sr}}{\text{star}}$

$=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)\cdot\,1.005\cdot 10^6\,k^2\,\left(1-\frac{\sqrt{k^2\cdot 10^{34}-4.9\cdot10^{17}}}{k 10^{17}}\right)\text{ sr}$

$3.816\cdot 10^{-9}\text{ sr}$ $3.037\cdot 10^{-10}$

立体角合計

立体角は：

$6.8\cdot 10^{-5}\text{ sr}$
$3.816\cdot 10^{-9}\text{ sr}$
$2.386\cdot 10^{-11}\text{ sr}$
$6.800384\cdot 10^{-5}\text{ sr}$
$3.840\cdot 10^{-9}\text{ sr}$

参照資料

— マイケルズ
ソース

コメントは詳細なディスカッション用ではありません。この会話はチャットに移動されました。

— called2voyage

15

要するに：誰も確実に知りませんが、現在は確率が1であるように見えます。

長い：私たちの現在の理解では、宇宙はおそらく宇宙で無限です。これは、最近のWMAP衛星の結果に依存します。これは、測定精度を下回るユニバースのゼロ曲率を示しています。他の2つのオプションは、正の曲率（つまり、4D球体を使用する）または負の曲率でした。

曲率が正確にゼロ（図の最後のオプション）であるか、負であり、ユニバースにエキゾチックなトポロジがない場合、無限になります。

そして、無限の宇宙には無限の多くの星があるので、どこでも、どこで星を見つけるかは関係ありません。

しかし、おそらくあなたは実際にそれを見るオプションがない-それは宇宙論の地平線上にほぼ確実にあるため、宇宙の拡大のために、そこから情報を取得したり、何らかの意味でそれと対話する方法はありません。現在加速している膨張は、宇宙の地平線内の星の数さえ連続的に減らします。

普遍的な拡張がなければ、空全体が星で満たされ、太陽よりも明るくなります（オルバースパラドキソン）。

$\approx$ $\approx 10^{13}$ $\approx 10^7$

— user259412
ソース

コメントは詳細なディスカッション用ではありません。この会話はチャットに移動されました。

— called2voyage

6

「オーバーヘッド」とは、頭の中心を指すのですか、それとも頭の一部を指すのですか？後者を想定すると、問題が変わります！

上記のMichaelSの素敵な作品をすべて要約したくはありませんので、彼の数字を借りて、簡単にエンベロープの裏側の計算を行います。

$17cm$ $0.03m^2$

$500\cdot 10^{12} m^2$

$6\cdot 10^{-17}$

$10^{24}$

— jeffB
ソース

4

たぶん、多分。

質問に答えるには、少なくとも2つの方法があります。1つは、質問を書いたときの座標は何で、正確には何時だったかを尋ねることです。次に、モデルに線を引いて、ヒットしたものとそれらのヒットのいずれかが星であるかどうかを確認する必要があります。これは完全なマップを前提としていますが、これは問題です。答えは地球上のすべての人にとって異なり、絶えず変化します。私たちが宇宙船にいるかどうかは正しい質問になります。広大なスペースを考えると、「何かにぶつかるまではどれくらいか」と尋ねた方がいいでしょう。

もう1つの答えは、確率に関するものです。星はどれくらいの頻度で直接頭上にありますか？私はそれについて推論する1つの方法を提案します。多くの制限要因があるようです。それらのいくつかも指摘します。

まず、腸のチェック。私たちの太陽は常に地球の良い地域の真上にあります。太陽は比較的近いため、カバレッジは特別です。それにもかかわらず、数兆の数十億の他の星が惑星の残りをカバーしていることはありそうです。

この質問の優れた詳細は、想像している線が星と交差するかどうかです。これは、抽象的な線が星の質量の中心だけでなく、他の中心でもなく、星の質量のどの部分を通過するかを意味します。

「宇宙の中心」にさえ意味がある場合、私たちは宇宙の中心にいないという可能性があります。私たちは観測可能な宇宙の中心にいると主張することができます（本質的には同じ制限されたギアですべての方向を見ているからです）。したがって、この問題にいくらかのスペースを与えるためだけに、可観測性の巨大な球体を想像することができます。大きな風船の中心に浮かぶ砂粒のように自分を想像してください。実際には、砂の粒は実際の風船に比べて大きすぎますが、想像できないほど小さな粒の上で気球の中心にいると想像してください。

$1.1\times 10^{26}$ $4\pi r^2$ $64\pi$ $\pi$

これが、気球の中心から内側を見つめている領域であり、顕微鏡で見られない同心の砂粒の上に座っていると想像してください。一度にエリアの半分しか見ることができません（実際にはもっと少ない）が、回転している。そのため、バルーンの内側の表面全体を1日を通してキャンバス化できます。

そのため、この砂のスペック上で、バルーンの一部を見ることができます。私たちの1人はレーザーポインターを持っています。このポインターを使用して、バルーンのさまざまな部分をポイントし、それらについて話すことができます。実際、バルーンの表面に碑文を描くために使用できる一種の「ライトペン」モードを持つレーザーポインターを想像するのは楽しいかもしれません。夜空を横切ってあなたの名前を塗ると、かなりのショーになります。説明のために、これらの小道具が形而上学的特性を持つことを想像する必要があります。私たちは、ライトペンにはあまり関心がありません。私たちが線を描いていると想像するだけです。

ここで、気球の内部に、観測可能な宇宙のすべてのもの、または質問のために星だけをスケールして配置しようとしたと想像してください。気球の内側にあるすべてのものを、視点からの相対位置に正確に配置します。

これで、一度に1つずつ調べて、各星を個別に検討できます。星を調べるたびに、レーザーポインターを使用して星から線を引くことができます。ライトペンを使用して、レーザーポインターで星の輪郭をトレースし、その背後のバルーンの表面に小さな円を刻むことができます。特定の星でこれを行うたびに、風船に円を追加して、星の平らな地図を作成します。各星を1つずつ処理し、風船が再び空になるまで各星を削除できます。作成した地図を振り返ってみると、私たちだけです。

ここで、バルーンが元々赤で、ライトペンが緑で描画されていたとします。また、描いた緑色の円は緑色で塗りつぶされていたとしましょう。すべての星を処理した後、バルーンの内側に緑色のドットがあります。各緑のドットのサイズは、最初に星のサイズの関数になります。大きな星は、地図上に比較的大きな円を描く傾向があります。

このアナロジーは多くの点で不完全です。ここでは重要な点で不完全です。あなたが手で円運動をしている星を追跡していると想像するなら、それは自然なことです、そして我々は地図をゆがめます。円を描くように手に持ったライトペンの角度は、遠くまで投影されます。このマップは他の理由で興味深いものですが、私たちは私たちと並んでいる領域、つまり「下にある」星だけを特定しようとしています。私たちは、星と星の間の距離に比例したサイズではなく、星の実際のサイズを地図上に表示したいと考えています。

真実を維持するために、地図には単純に円があり、その中心は私たちと一直線上にあり、それが表す星であると想像しなければなりません。星の円のサイズは実際のサイズです。私たちの太陽の直径は約139万キロメートルであるため、地図上に描かれる円の直径はこの直径になります。これは、距離に関係なく、「オーバーヘッド」である星の候補を作成するために、それらと私たちの間のすべての行を運ぶ点の領域です。

ある特定の時点で少なくとも1つの星がおそらく頭上にあるかどうかの答えは、ある考えでは、地図上の赤と緑の割合です。マップ全体のどれくらいが緑ですか？それは、私たちがいつでも星と並んでいる可能性が大体です。

この確率の線を続けたい場合、これは、観測可能なすべての星の平均サイズを取得し、平均直径を計算し、それに星の数を掛けて、推定面積を得る時間です。これは、3次元または4次元を2次元にフラット化し、オーバーラップを考慮しなかったため、大幅にオフになります。残念ながら、オーバーヘッドの重複は一貫していないようです。夜空を見上げると、私たちの一部である天の川が見えることに注意してください。

また、それらの平均値を取得するには、観測可能なユニバースのインデックスを作成する必要があります。多くの人々がこれに長い間取り組んでいますが、それは非常に大きなものです。そのため、星の大きさなどの平均がかなり良いほど十分なデータがある場合は、平均を忘れて実際の地図を作成することもできます。重複する円も同様に処理します。作業中は、マップを完全に忘れてください。携帯電話のGPSを使用して、地球上の位置をモデルに取り込み、線を引き、上のすべてを確認します。宇宙の広大さが圧倒的に大きいため、頭上にあるものを確認するために必要な計算が観測可能な宇宙の半径よりも短い可能性があることを感謝するだけで、私たちが始めた本当の問題です。

私は最近、宇宙は私たちが観測できるものより少なくとも250倍大きいかもしれない（これらは推測と議論である）ことも読んだ。地球が平らであることも読みました。宇宙は無限に続くかもしれません。それについての推論には、同様の境界条件があります。

あなたの最善の策は、実際にあなたの場所をモデルにフィードし、モデルを制限して、合理的に高速な計算ができるようにすることです。質問を次のように変更します：「空間的および計算上の境界を考慮して、この行の最も近い星は何ですか？」。

— ケパロ
ソース

1

$4\pi r^2$

4 π r^{2}

$4\pi r^2$

非常に素晴らしい。ありがとうございました！

— ケパロ

1

星の角の大きさは、線形の大きさではなく、風船に投影したい大きさです。星の距離が0の場合、空の半分を占めます（ここでは地面が「空」と見なされます）が、無限の距離の場合、空はゼロになります。あなたの解決策は、風船が常に最も遠い星の外側にある場合、緑の量を大きく過小評価しています。

— MichaelS

-1

パラドックスで有名なオルバースによれば、宇宙が無限であれば、どの方向の視線も最終的に星に到達するはずです。理論的には昼間は明るいはずなのに、なぜ夜空はそんなに暗いのですか？その特定の質問を除いて、宇宙が無限であることの証拠はありませんが、どの方向の線も遅かれ早かれ星の表面に到達するほど十分に大きいです。問題の線が星に到達するのに数十光年だけ移動する必要があるのか、何十億光年移動するのかは、立っている場所と線を引く特定の瞬間によって決まります。もしあなたがたまたま赤道上にある正しい時期と正しい時期にいたら、ラインは星に到達するのにわずか8光分以上移動するだけでよいかもしれません。宇宙では、紙の上ではなく、

— マイケル・ウォルズビー
ソース

4

この推論は完全に間違っています。あなたが無限の宇宙を持っているとしても、無限に多くの星がないかもしれません。さらに、あなたは無限に多くの星を持つ無限の宇宙を持っている場合でも、星を打つ任意の行の確率は最終的に0になるような分布残っています

— カール・フレドリック・ニーバーグBrodda

1

@ Carl-FredrikNybergBrodda：オルバーのパラドックスは、均質性と等方性の概念に基づいていることに注意してください。これらはともに宇宙論の原理として知られています。論理的に保証されていない場合でも、通常は真であると推定されます。2016年のこの論文は、等方性を支持するオッズが120000：1であることを示唆しています。

— MichaelS

5

ここには、宇宙が「十分に大きい」ことを裏付ける証拠や根拠がありません。十分な大きさですか？

— 原子力王