平らな渦巻銀河の恒星軌道の（上下ではなく平面に沿った）形状は何ですか

つまり、中心質量の軌道は比較的単純ですが、銀河の周りの軌道は異なります。本質的に、星が暗黒物質ハローを通過するにつれて、銀河の中心から遠ざかるほど重力場が大きくなります。なので、運動エネルギーがポテンシャルエネルギーに変わると軌道は遅くなる傾向がありますが、星は銀河の中心から遠ざかるほど、より多くの質量を周回しているため、加速する可能性があります。等時間の等面積ルールはもはや適用されないようです。

では、銀河の平面に対する上下の動きを無視すると、銀河の軌道に共通の形状があるのでしょうか？公式はありますか？それでも偏心は当てはまると思いますが、軌道が楕円になるとは思わないので、別の種類の偏心でしょう。これらの軌道は循環する傾向がありますか（理想的な暗黒物質の雲では、摂動を無視します。明らかに、摂動は実際の意味では予測できない軌道につながり、整然とした整然とした公式ではありません。天の川の磁場もらせん状の腕を形成する役割を果たしていますが、理想的な数学的な意味で、上下の動きを無視して、2Dの視点から、銀河を通過する軌道の形状を尋ねています。

更新

この質問は、実際には、惑星または低速ニュートリノ（低速ニュートリノが存在する場合）さえも「軌道を回って」いるブラックホールによってより簡単に尋ねられるかもしれないと思いました。オブジェクトが中心から離れるにつれて重力が増加するため、惑星の軌道の内部はケプラーの軌道とはかなり異なります。全体的な軌道はまだ楕円のようですが、そのような軌道の法則は異なり、中心から最も遠い点で最高の加速度が表示されますが、おそらく最も近い点で最高の速度が表示されます。センター。

とにかく、それらの形がうまくできていて、それがどのように見えるかについて、私はたいてい興味があるだけです。

orbit milky-way orbital-mechanics

— userLTK
ソース

@SirCumferenceあなたが賞金を獲得しているという回答が通知されたかどうかはわかりませんが、私は回答を提出したことをお知らせします。

— ゼファー2016年

@zephyrええ、それは非常に良い答えです。私は少し待って、質問（とあなたが答える）がさらに注目されるようにします。

— Sir Cumference '19年

これは興味深い質問であり、多くの場合、興味深い質問は現在の知識では簡単に答えることができませんが、これはある程度は答えることができます。私は軌道理論の基本を実行し、それらが銀河にどのように適用できるか、それがケプラーのシステムとどのように異なるかを説明します。ニュートンの物理学（すべての軌道がニュートンの法則から正確に導出された後）の合理的な理解と数学の強力な知識が必要です。これらがない場合は、各セクションの最後にジャンプして、数学の背後にある重要なポイントをまとめます。

使用する数学表記について簡単に説明します。シンボル上のドットは時間微分（例えば、示し）と非イタリック体の太字記号はベクトル量（例えば、ある）。仕事に取り掛かりましょう。 $\dot{a}$ $\bf F$

軌道運動方程式

質量考えるいくつかの位置としてとによって記述運動で移動 $m$ $\bf r$ $\bf \dot{r}$ 。この質量は、座標系の中心からの半径方向距離関数のみである力を経験します。ここでの目標は、この力による質量の軌道を表すことができる運動方程式を決定することです。次に、この方程式を使用してを解くことができます。ニュートンの法則により、運動方程式は最初に次のように定義できます。 $\textbf{F}(r)$ $r$ $r(\theta)$

F (r) = m a = m (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2})

$\textbf{F}(r) = m\textbf{a} = m\Big(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2\Big)$

この場合にそのノート単にの半径方向成分でありおよび球座標系における物体の方位角です。適切な座標系の下で、加速度を上記の2つのコンポーネントに分解する方法を決定するのは、このままにしておきます。関数のみが存在するように、依存関係を削除してみましょう。これは、角運動量保存を使用して実現できます。単位質量当たりの角運動量は次式で与えられるよう。これは与える $r$ $\bf r$ $\theta$ $\theta$ $r$ $\ell = r^2\dot{\theta}$ $\dot{\theta} = \ell/r^2$

F (r) = m (\ddot{r} - ℓ^{2} / r^{3})

$\textbf{F}(r) = m\big(\ddot{r} - \ell^2/r^3\big)$

これは、を解くことができる微分方程式になりましたが、が必要なので、いくつかの変換を行う必要があります。定義することでレッツ・再パラメータ $r(t)$ $r(\theta)$ （理由はビットに明らかになるであろう）と決定の面でと。 $u \equiv 1/r$ $\ddot{r}$ $u$ $\theta$

\frac{d}{d t} (r) = \frac{d}{d t} (\frac{1}{u}) = \frac{1}{u^{2}} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{u^{2}} \frac{d u}{d θ} \frac{d θ}{d t} = - \frac{\dot{θ}}{u^{2}} \frac{d u}{d θ} = - ℓ \frac{d u}{d θ}

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(r) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg(\frac{1}{u}\bigg)=\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=-\frac{\dot{\theta}}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}=-\ell\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}$

置換注意。今決定するために、再び差別。 $\ell=r^2\dot{\theta}=\dot{\theta}/u^2$ $\ddot{r}$

\frac{d^{2}}{d t^{2}} (r) = - ℓ \frac{d}{d t} (\frac{d u}{d θ}) = - ℓ \frac{d θ}{d t} \frac{d}{d θ} (\frac{d u}{d θ}) = ℓ \dot{θ} \frac{d^{2} u}{d θ^{2}} = - ℓ^{2} u^{2} \frac{d^{2} u}{d θ^{2}}

$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}(r)=-\ell\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\bigg)=-\ell\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\bigg(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\bigg) = \ell\dot{\theta}\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}=-\ell^2 u^2 \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}$

これを運動方程式の式に入れ、最終的に与える変換を行う $r=1/u$

F (1 / u) = m (- ℓ^{2} u^{2} \frac{d^{2} u}{d θ^{2}} - ℓ^{2} u^{3})

$\textbf{F}(1/u) = m\Big(-\ell^2 u^2 \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} - \ell^2 u^3\Big)$

ようやく到達した、より便利な形で書く

\frac{d^{2} u}{d θ^{2}} + u = - \frac{F (1 / u)}{m ℓ^{2} u^{2}}

$\boxed{\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} + u = -\frac{\textbf{F}(1/u)}{m\ell^2u^2}}$

それを覚えて、体の質量である、単位質量当たりの角運動量であり、 $m$ $u(\theta) \equiv 1/r(\theta)$ $\ell$ $\bf F$ 純粋に半径体に作用する力、でありおよび、半径方向であります質量の方位角座標位置。 $r$ $\theta$

パンチライン：ここでの最終結果は、任意の力に従って軌道運動する物体の一般的な運動方程式です。これは、重力、電磁気、ばね力、または私たちが決定する他の何かである可能性があります。これは、一般的で非制限的な仮定の下で意図的に導出されたものであり、うまくいけば、円盤銀河を周回する星の軌道運動を理解するために使用できることがわかります。この方程式の目標は、力を（何であれ）接続して、を解くことです。そこからを決定するのは簡単です。 $u(\theta)$ $r(\theta)$

ケプラーモーション

銀河の軌道運動を見る前に、標準のケプラー運動を見て、比較するものを見てみましょう。ケプラー運動は、質量が単一の点状の質量を周回し、単純な重力の影響下にあると仮定することから派生します。その場合、我々は、我々の力を記述することができる、したがってここで、 $m$ $M$ $F(r) = kr^{-2}$ $F(1/u) = ku^2$ $k\equiv GMm$ $G$ 重力定数です。この力の下で、一般的な軌道方程式は、

\frac{d^{2} u}{d θ^{2}} + u = - \frac{k}{m ℓ^{2}}

$\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} + u = -\frac{k}{m\ell^2}$

これは、一定の強制関数をもつ標準的な2次の不均一微分方程式です。Diff EQを知っている場合は、ほとんどすぐにソリューションを知る必要があります。

u (θ) = \frac{k}{m ℓ^{2}} + A \cos (θ - θ_{0})

$u(\theta) = \frac{k}{m\ell^2} + A\cos (\theta - \theta_0)$

$A$ $\theta_0$ $r(\theta)$ $k = GMm$ $L = \ell\mu$ $\mu$ ここで、は軌道の離心率です。 $e = A(m\ell^2/k)$ $e$

r (θ) = \frac{L^{2} / G M μ^{2}}{1 + e \cos (θ)}

$\boxed{r(\theta) = \frac{L^2/GM\mu^2}{1+e\cos (\theta)}}$

$M$ $e$ $e = 0$ $r(\theta)$ $0 < e <1$ $e=1$ $e > 1$

$F\propto r^{-2}$ $F \not \propto r^{-2}$ $P^2 \propto a^3$

銀河の軌道運動

あなたの質問は、銀河を周回する星（または実際には何でも）の状況を正しく説明しています。星は中心の点状の質量を周回していません。それらは、銀河を構成するバリオンと暗黒物質の両方に埋め込まれ、銀河を周回しています。それはよく知られている概念球対称質量分布は、オブジェクト上の正味引力がありません物理学の内部銀河の星のために、その軌道に影響を与える質量はその半径質量インテリアであることを意味しているディストリビューションにします。その半径が変化すると、質量が変化します！

$M_r$ $F(r) = GM_r(r)m/r^2$

\frac{d M_{r}}{d r} = 4 π r^{2} ρ (r)

$\frac{\mathrm{d}M_r}{\mathrm{d}r} = 4\pi r^2 \rho(r)$

$r$ $r$ $\rho(r)$ （SIS）ですが、より現実的であるが数学的に複雑な方程式は、NFWプロファイルまたはEinastoプロファイルである可能性があります。

これで、銀河内の軌道運動を理解するために必要なすべての手順を説明しましたが、私は言わざるを得ません。ただし、最も単純なケースの一部であるSISを見ることができます。

単一の等温球

$\rho(r) = v^2/(4\pi Gr^2)$ $v$ $-$ $v$ 定数であり、半径に依存しません！（私たちが銀河のふくらみや中心の近くにないと仮定します。それはまったく別の獣です。）

$M_r$ $\rho(r)$

M_{r} = \frac{v^{2} r}{G}

$M_r = \frac{v^2r}{G}$

これはあなたの力が

F (r) = \frac{v^{2} r m}{r^{2}} = \frac{v^{2} m}{r} \Rightarrow F (1 / u) = v^{2} m u \propto k u

$F(r) = \frac{v^2rm}{r^2} = \frac{v^2m}{r}\Rightarrow F(1/u) = v^2mu\propto ku$

$r^{-1}$ $r^{-2}$

傾向がある場合は、これを上記の運動方程式にプラグインして解決することもできますが、非線形微分方程式を使用しているため、処理が複雑になります。

パンチライン：これが実際にあなたの質問に答えるかどうかはわかりません。私はあなたをウサギの穴の一部に導いたが、うまくいけば、それがどれほど複雑になるかをすぐに理解できるだろう。上記のすべての作業は、広範な仮定と単純化を使用していた。これらすべてに対する短い答えは、計算可能な方程式では正確に（私たち自身の銀河でさえ）簡単に説明できない複雑であるが閉じた軌道で星が銀河を周回することだと思います。概算して、数学を処理するために最善を尽くすことができますが、最終的には概算になります。ただし、大雑把な近似では、星などの軌道を円形であると見なして処理することもできます。

— ゼファー
ソース

ワオ。非常に印象的！！！

— userLTK 2016年

「そのため、F∝̸r-2であるシステムがケプラーの法則のいずれにも従わないことが理にかなっています。」ケプラーの第2法則の形式は、角運動量の保存の結果としてのみ、すべての中心力に適用されます。en.wikipedia.org/wiki/Areal_velocity

— ロブジェフリーズ