軌道が円形ではなく楕円形になるのはなぜですか？

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なぜ惑星は特定の楕円軌道の星の周りを回転し、その焦点の1つに星がありますか？なぜ軌道は円ではないのですか？

star orbit planet

— デブギート・パテル
ソース

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エドゥアルドの答えはその大部分を要約しています。Physics SEに関する同様の質問に対する私の答えを見ることができますが。physics.stackexchange.com/questions/56657/...

— Cheeku

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円軌道は、楕円軌道の特殊なケースです。

— asawyer

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惑星は星と比較して無視できる質量を持ち、両方が球対称であると仮定します（そのため、ニュートンの重力の法則が成り立ちますが、通常これはとにかく非常に良い近似になります）、それらの間には重力以外の力はありません。最初の条件が満たされない場合、それぞれの加速度は、重心が特定の減少した質量の重力を引き付けているかのように、システムの重心に向かっているため、問題は数学的に同等です。

原点に星を取ります。重力のニュートンの法則によって、力が、ここでは惑星へのベクトル、はその質量、は星の標準重力パラメータです。 $\mathbf{F} = -\frac{m\mu}{r^3}\mathbf{r}$ $\mathbf{r}$ $m$ $\mu = GM$

保全法

力は純粋に半径方向であるため、、角運動量保存されている： $(\mathbf{F}\parallel\mathbf{r})$ $\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}$ 初期速度がゼロであり、星が原点である場合には、初期位置と速度の点で、軌道は、ベクターと全ての点の平面に制限されなければならsatisifyこと原点から。初期速度がゼロの場合、動きは純粋に放射状であり、重心と初期位置を含む無限に多くの平面のいずれかを取ることができます。

\dot{L} = \frac{d}{d t} (r \times p) = m (\dot{r} \times \dot{r}) + r \times F = 0 .

$\dot{\mathbf{L}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathbf{r}\times\mathbf{p}\right) = m(\dot{\mathbf{r}}\times \dot{\mathbf{r}}) + \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{0}\text{.}$

x

$\mathbf{x}$

L \cdot x = 0

$\mathbf{L}\cdot\mathbf{x} = 0$

総軌道エネルギーは与えられます最初の項の部分は運動エネルギーであり、2番目の項は惑星の重力ポテンシャルエネルギーです。その保存と、それが正しいポテンシャルエネルギーを呼び出すという事実は、線積分の微積分の基本定理によって証明することができます。

E = \frac{p^{2}}{2 m} - \frac{m μ}{r},

$\mathcal{E} = \frac{p^2}{2m} - \frac{m\mu}{r}\text{,}$

ことがラプラスルンゲ-レンツベクトルを定義するまた、保存されている：

A = p \times L - \frac{m^{2} μ}{r} r .

$\mathbf{A} = \mathbf{p}\times\mathbf{L} - \frac{m^2\mu}{r}\mathbf{r}\text{.}$

\begin{array}{rcl} \dot{A} & = & F \times L + p \times \dot{L} - \frac{m μ}{r} p + \frac{m μ}{r^{3}} (p \cdot r) r \\ = & - \frac{m μ}{r^{3}} \underset{(r \cdot p) r - r^{2} p}{\underset{⏟}{(r \times (r \times p))}} - \frac{m μ}{r} p + \frac{m μ}{r^{3}} (p \cdot r) r \\ = & 0 . \end{array}

$\begin{eqnarray*} \dot{\mathbf{A}} &=& \mathbf{F}\times\mathbf{L} + \mathbf{p}\times\dot{\mathbf{L}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& -\frac{m\mu}{r^3}\underbrace{\left(\mathbf{r}\times(\mathbf{r}\times\mathbf{p})\right)}_{(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})\mathbf{r} - r^2\mathbf{p}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& \mathbf{0}\text{.} \end{eqnarray*}$

最後に、また、みましょうと同じ単位であり、、そして以来、それが軌道面に沿って位置します。保存されたスカラーによってスケーリングされた保存されたベクトルであるため、限り、も保存されていることを示すのは簡単です。 $\mathbf{f} = \mathbf{A}/(m\mathcal{E})$ $\mathbf{r}$ $\mathbf{L}\cdot\mathbf{f} = 0$ $\mathbf{f}$ $\mathcal{E}\neq 0$

簡素化

ベクトルトリプル積を使用することにより、次のように記述できますノルムの二乗アウトクランクすることが容易となっている：

\begin{array}{rcl} \frac{1}{m} A & = & \frac{1}{m} [p^{2} r - (p \cdot r) p] - \frac{m μ}{r} r \\ = & (E + \frac{p^{2}}{2 m}) r - \frac{1}{m} (p \cdot r) p \\ E (f - r) & = & (\frac{p^{2}}{2 m}) r - \frac{1}{m} (p \cdot r) p, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m}\mathbf{A} &=& \frac{1}{m}\left[p^2\mathbf{r}-(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{p}\right] -\frac{m\mu}{r}\mathbf{r}\\ &=& \left(\mathcal{E}+\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\\ \mathcal{E}(\mathbf{f}-\mathbf{r}) &=& \left(\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\text{,} \end{eqnarray*}$

運動と電位用語切り替えるために全体を通して使用しました。

E^{2} | f - r |^{2} = {(E + \frac{m μ}{r})}^{2} r^{2},

$\mathcal{E}^2|\mathbf{f}-\mathbf{r}|^2 = \left(\mathcal{E} + \frac{m\mu}{r}\right)^2r^2\text{,}$

E

$\mathcal{E}$

なぜ楕円？

以来バインドされた軌道を持っている無限大に相対的なエネルギーであり、我々は必要な。したがって、前のセクションから、したがって $\mathcal{E}$ $\mathcal{E}<0$ $|\mathbf{f}-\mathbf{r}| = -\mathcal{E}^{-1}\left(\mathcal{E}r + m\mu\right)$

| f - r | + | r | = - \frac{m μ}{E},

$|\mathbf{f}-\mathbf{r}| + |\mathbf{r}| = -\frac{m\mu}{\mathcal{E}}\text{,}$

0, f

$\mathbf{0},\,\mathbf{f}$

2 a = - m μ / E

$2a=-m\mu/\mathcal{E}$

なぜサークルではないのですか？

$\mathbf{f} = \mathbf{0}$

E = - \frac{1}{2} \frac{m μ}{r} = - \frac{p^{2}}{2 m} .

$\mathcal{E} = -\frac{1}{2}\frac{m\mu}{r} = -\frac{p^2}{2m}\text{.}$

E < 0

$\mathcal{E}<0$

$\mathcal{E}>0$ $\mathcal{E}=0$ $\mathbf{f}$

さらに、離心率ベクトル $\mathbf{e} = \mathbf{A}/(m^2\mu)$ LRLベクトルの代替選択肢です。名前が示すように、その大きさは軌道離心率です。

— スタン・リオウ
ソース

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惑星が円軌道を持っていることは可能です、結局のところ、円は両方の焦点が同じ場所にある楕円です。これは、離心率が0として知られています。偏心は、次の方法で定義されます。

e = \frac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}

$e = \frac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}$ どこ

r_{a}

$r_{a}$ アポアプシス（質量中心から軌道の最も遠い点）

r_{p}

$r_{p}$ 近点（最も近い距離）です。ここでいくつかの直観を構築するために、アポアプシスが近点の距離の2倍である場合、離心率は

e = 0.333

$e=0.333$ 。

太陽系のすべての惑星から、0.007の離心率を持つ金星は、最も円形の軌道を持っています。

すべての軌道が丸くない理由については、運動エネルギーに帰着します。運動エネルギーは、速度の2乗に比例します。軌道面と星の極座標では、これを放射速度の組み合わせに分解できます $\dot{r}$ および角速度 $\dot{\phi}$ ：

v^{2} = {\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{ϕ}}^{2} 。

$v^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\text{.}$ 円は一定の半径を持っているため、軌道が星の周りを円形になるためには、惑星の動径速度は正確にゼロでなければなりません。さらに、角速度は、共回転フレーム内の遠心力が重力と正確に釣り合うようにする必要があります。多少多かれ少なかれ、不均衡は半径速度を変化させ、円を損ねます。

速度はさまざまな理由で変化するという事実を考えると、わずかな軌道だけが最終的に循環することになり、実際の軌道が時間とともに変化することを考えると、このように長く留まることはできません。

数学的な証明を探している場合は、このリンクで詳細を共有しています。

ここから抽出された太陽系のいくつかの物体の離心率を示す画像があります：

いくつかの太陽系の天体とその離心率

— エドゥアルド・セラ
ソース

これは完全に間違っています。「軌道が円形であるためには、惑星の速度は、軌道にあるために必要な最小値でなければなりません。...少しすると、軌道に乗っている惑星に衝突します。」パラグラフはまた、何が何を周回するかについてかなり混乱しています。明らかに、それらは半径方向の速度を最小化しますが、それは異なり、運動エネルギーの議論とは関係ありません。運動エネルギーを半径方向と角度方向の部分に分け、円軌道は、角運動量が固定されている場合の有効ポテンシャルも最小化します。

— スタン・リオウ

@Stanでは、編集を提案したり、独自の回答を提供したりできます。その記述が間違っている理由について詳しく説明していただけますか？衛星が円軌道を描いており、それを遅くすると、惑星に衝突します。高速化すると、楕円軌道を形成します。

— エドゥアルドセラ

円軌道は

r_{a} = r_{p}

$r_a = r_p$ 。衛星速度の小さな変化は、これらの量の小さな変化をもたらすでしょう。衛星は、新しい場合にのみクラッシュします

r_{p}^{'}

$r'_p$ は、惑星の半径以下です。大気、しかし変化が小さいので、それは衛星軌道が既にほとんど惑星を抱いていた場合にのみ起こり得る。...運動エネルギーとの連携を維持する編集を提案します。

— スタン・リオウ

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@EduardoSerra-円形軌道内のオブジェクトを減速すると、楕円軌道になり、以前の円形軌道半径は無限遠距離になります。

— デビッドハメン

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私はいつも、式を避け、代わりに議論で返事をしようとする答えを好む。なぜすべての軌道が円形ではないのかという質問の部分に関して、議論は次のようになります。

静止星と動く惑星を考えてみましょう。惑星が持つことができる各インパルスについて、そのさらなる動きの曲線を予測することができます。このインパルスが、星から惑星への直線と正確に直交する方向に向けられており、速度に正確な量がある場合、この運動曲線は正確な円になります。

しかし、この1つの正確なインパルスから逸脱するたびに、結果の曲線は円になりません。

速度が低すぎる場合、惑星は星に向かって落下します（衝撃がゼロの極端な場合、この落下は直線になります）。
速度が速すぎる場合、惑星は星からの距離を獲得します（パチンコに似ています）。
インパルスが星への直線に直接直交していない場合、最初の動きは星に向かってまたは星から移動するため、曲線は再び円になりません。

だから、単純に議論することができます、円は、惑星が星を取り囲むことができる曲線の非常に特別なケースです。

— アルフェ
ソース

（1）初期の直交性の議論は良い出発点です。（2）しかし、「速度が[低すぎる/高すぎる]」という考慮事項は不当です。複数の速度での円軌道が同じ距離では許可されないことをどのように知るでしょうか。重力と遠心力のバランスをとることにより、複数の速度の可能性に反論することができますが、（1）と（2）の両方は、エドゥアルドセラの答えで概説されているとおりになります。

— スタン・リオウ14年

ですから、惑星を円軌道上に維持するためにより多くの力が「必要」になると、重力が星に向かってより多くの力を惑星に加えるという意味で、重力は堅いロープのようになり得るという印象を受けます。？うーん…はい、素人の背景に応じて、これは予想されることです。概念をありがとう。この問題に対処するために答えを改善できるかもしれません！

— アルフェ