確率の収束について
ましょう{Xn}n≥1{Xn}n≥1\{X_n\}_{n\geq 1}ランダム変数STの配列であるXn→aXn→aX_n \to a確率で> 0は固定された定数です。私は次を見せようとしています： √a>0a>0a>0Xn−−−√→a−−√Xn→a\sqrt{X_n} \to \sqrt{a} と aXn→1aXn→1\frac{a}{X_n}\to 1 両方の確率。私の論理が健全かどうかを確認するためにここにいます これが私の仕事です 試行 最初の部分については、我々は持っています |Xn−−−√−a−−√|<ϵ⟸|Xn−a|<ϵ|Xn−−−√+a−−√|=ϵ|(Xn−−−√−sqrta)+2a−−√||Xn−a|<ϵ⟸|Xn−a|<ϵ|Xn+a|=ϵ|(Xn−sqrta)+2a||\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|<\epsilon \impliedby |X_n-a|<\epsilon|\sqrt{X_n}+\sqrt{a}|=\epsilon|(\sqrt{X_n}-sqrt{a})+2\sqrt{a}| ≤ϵ|Xn−−−√−a−−√|+2ϵa−−√<ϵ2+2ϵa−−√≤ϵ|Xn−a|+2ϵa<ϵ2+2ϵa\leq \epsilon|\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|+2\epsilon\sqrt{a}<\epsilon^2+2\epsilon\sqrt{a} お知らせ ϵ2+2ϵa−−√>ϵa−−√ϵ2+2ϵa>ϵa\epsilon^2+2\epsilon\sqrt{a}>\epsilon\sqrt{a} その後、 P(|Xn−−−√−a−−√|≤ϵ)≥P(|Xn−a|≤ϵa−−√)→1asn→∞P(|Xn−a|≤ϵ)≥P(|Xn−a|≤ϵa)→1asn→∞P(|\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|\leq \epsilon)\geq P(|X_n-a|\leq \epsilon\sqrt{a})\to 1 \;\;as\;n\to\infty ⟹Xn−−−√→a−−√inprobability⟹Xn→ainprobability\implies \sqrt{X_n}\to\sqrt{a} \;\;in\;probability 第二部については、 |aXn−1|=|Xn−aXn|<ϵ⟸|Xn−a|<ϵ|Xn||aXn−1|=|Xn−aXn|<ϵ⟸|Xn−a|<ϵ|Xn||\frac{a}{X_n}-1|=|\frac{X_n-a}{X_n}|<\epsilon \impliedby |X_n-a|<\epsilon|X_n| ここで、Xn→aXn→aX_n \to a asn→∞n→∞n \to \infty、XnXnX_nは有界シーケンスです。つまり、実数が存在するM<∞M<∞M<\infty STは|Xn|≤M|Xn|≤M|X_n|\leq M。したがって、 確率で見ると、 P （| a|Xn−a|<ϵ|Xn|⟸|Xn−a|<ϵM|Xn−a|<ϵ|Xn|⟸|Xn−a|<ϵM|X_n-a|<\epsilon|X_n|\impliedby |X_n-a|<\epsilon MP(|aXn−1|>ϵ)=P(|Xn−a|>ϵ|Xn|)≤P(|Xn−a|>ϵM)→0asn→∞P(|aXn−1|>ϵ)=P(|Xn−a|>ϵ|Xn|)≤P(|Xn−a|>ϵM)→0asn→∞P(|\frac{a}{X_n}-1|>\epsilon)=P(|X_n-a|>\epsilon|X_n|)\leq …