コーシー分布の位置パラメーターのMLE

センタリング後、2つの測定値xおよび−xは、確率密度関数を使用したコーシー分布からの独立した観測値であると仮定できます。

$f(x :\theta) =$ 、-∞<X<$1\over\pi (1+(x-\theta)^2)$ $, -∞ < x < ∞$

場合、のMLE は0であるが、場合、±に等しいの2つのMLEがあることを示すθ のx 2 > 1 θ $x^2≤ 1$$\theta$$x^2>1$$\theta$$\sqrt {x^2-1}$

対数尤度を区別する必要があるMLEを見つけると思います。

=Σ2（XI-θ$dl\over d\theta$ $=\sum$ =2（-X-θ$2(x_i-\theta)\over 1+(x_i-\theta)^2$ $=$ $2(-x-\theta)\over 1+(-x-\theta)^2$ + =$2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=0$

そう、

=2（X+θ$2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=$ $2(x+\theta)\over 1+(x-\theta)^2$

その後、私はそれを

$5x^2 = 3\theta^2+2\theta x+3$

今、私は壁にぶつかった。私はおそらくある時点で間違っていたかもしれませんが、どちらにせよ質問の答え方がわかりません。誰でも助けることができますか？

計算には数学のタイプミスがあります。最大のための一次条件は、

$$\begin{align} \frac {\partial L}{\partial \theta}= 0 &\Rightarrow \frac {2(x+\theta)}{ 1+(x+\theta)^2} - \frac{2(x-\theta)}{ 1+(x-\theta)^2}&=0 \\[5pt] &\Rightarrow (x+\theta)+(x+\theta)(x-\theta)^2 - (x-\theta)-(x-\theta)(x+\theta)^2&=0 \\[3pt] &\Rightarrow 2\theta +(x+\theta)(x-\theta)\left[x-\theta-(x+\theta\right]&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta -2\theta(x+\theta)(x-\theta) =0\Rightarrow 2\theta -2\theta(x^2-\theta^2)&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta(1-x^2+\theta^2)=0 \Rightarrow 2\theta\big(\theta^2+(1-x^2)\big)&=0 \end{align}$$

場合その後、括弧内の用語は、することはできませんゼロ（当然の真の解決策のために）、あなたは唯一の解決策で残っているように、θ = 0。 $x^2\leq 1$$\hat \theta =0$

場合はあなたが持っている2 θ [ θ 2 - （X 2 - 1 ）] = 0をので、離れ候補点からθ = 0あなたも取得します$x^2 >1$$2\theta\big[\theta^2-(x^2-1)\big]=0$$\theta =0$

$$\frac {\partial L}{\partial \theta}= 0,\;\; \text{for}\;\;\hat \theta = \pm\sqrt {x^2-1}$$

また、この場合には理由を正当化していないする必要がθ = 0は、もはやMLEです。$\hat \theta =0$

補遺

以下のために対数尤度のグラフです。 $x =\pm 0.5$

$x =\pm 1.5$

今、あなたがしなければならないのは、代数的にそれを証明し、「今-どちらを選ぶべきか？」