コーシー分布の位置パラメーターのMLE


13

センタリング後、2つの測定値xおよび−xは、確率密度関数を使用したコーシー分布からの独立した観測値であると仮定できます。

1f(x:θ)= -<X<1π(1+(xθ)2) ,<x<

場合、のMLE は0であるが、場合、±に等しいの2つのMLEがあることを示すθ のx 2 > 1 θ x21θx2>1θx21

対数尤度を区別する必要があるMLEを見つけると思います。

=Σ2XI-θdldθ = =2-X-θ2(xiθ)1+(xiθ)2 = 2(xθ)1+(xθ)2 + =02(xθ)1+(xθ)2 =0

そう、

=2X+θ2(xθ)1+(xθ)2 = 2(x+θ)1+(xθ)2

その後、私はそれを

5x2=3θ2+2θx+3

今、私は壁にぶつかった。私はおそらくある時点で間違っていたかもしれませんが、どちらにせよ質問の答え方がわかりません。誰でも助けることができますか?


xを-xと+ xに分割した理由を説明してください。これが私の宿題であり、私はその段階で行き詰まっています。ニュートンのラフソン法を適用したと思います。しかし、私はそれを適用する方法を得ていません。教えてください。
user89929

回答:


22

計算には数学のタイプミスがあります。最大のための一次条件は、

Lθ=02(x+θ)1+(x+θ)22(xθ)1+(xθ)2=0(x+θ)+(x+θ)(xθ)2(xθ)(xθ)(x+θ)2=02θ+(x+θ)(xθ)[xθ(x+θ]=02θ2θ(x+θ)(xθ)=02θ2θ(x2θ2)=02θ(1x2+θ2)=02θ(θ2+(1x2))=0

場合その後、括弧内の用語は、することはできませんゼロ(当然の真の解決策のために)、あなたは唯一の解決策で残っているように、θ = 0x21θ^=0

場合はあなたが持っている2 θ [ θ 2 - X 2 - 1 ] = 0をので、離れ候補点からθ = 0あなたも取得しますx2>12θ[θ2(x21)]=0θ=0

Lθ=0,forθ^=±x21

また、この場合には理由を正当化していないする必要がθ = 0は、もはやMLEです。θ^=0

補遺

以下のために対数尤度のグラフです。 x=±0.5ここに画像の説明を入力してください

x=±1.5ここに画像の説明を入力してください

今、あなたがしなければならないのは、代数的にそれを証明し、「今-どちらを選ぶべきか?」


θ=0

2次条件を最大にするか、候補ソリューションで尤度を評価します
アレコスパパドプロス

2
+1すばらしい回答。また、これは面白いかもしれません:wolframalpha.com/share/...の wolframalpha.com/share/...
random_user

@random_userありがとう!-答えにプロットを組み込むために自由を取りました。
アレコスパパドプロ

1
2次微分は正であるため、実際には局所的な最小値
アレコスパパドプロス
弊社のサイトを使用することにより、あなたは弊社のクッキーポリシーおよびプライバシーポリシーを読み、理解したものとみなされます。
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.