コルモゴロフ–スミルノフ検定の単純な等価性検定バージョンはありますか？

コルモゴロフ–スミルノフ検定では、2つの分布が少なくとも研究者が指定したレベルで異なるという否定論的帰無仮説をテストするために、2つの片側同等性検定（TOST）がフレーム化されていますか？

TOSTではない場合、他の形式の同等性テストですか？

ニック・スタウナーは、確率的同等性の帰無仮説、およびより制限的な仮定で、同等の中央値について、他のノンパラメトリックTOST同等性テストがあることを賢明に指摘しています（すでに知っているはずです;）。

kolmogorov-smirnov equivalence tost

— アレクシス
ソース

関連：非正規データの等価性テスト？

— ニックスタウナー

OK、これが私の最初の試みです。綿密な調査とコメントを歓迎します！

2標本仮説
2標本の片側コルモゴロフ・スミルノフ仮説検定をフレーム化できる場合、これらの線に沿って帰無仮説と対立仮説を使用します。

H 、および $_{0}\text{: }F_{Y}\left(t\right) \geq F_{X}\left(t\right)$

H 、少なくとも1 $_{\text{A}}\text{: }F_{Y}\left(t\right) < F_{X}\left(t\right)$ $t$ 、ここで：

検定統計量 H 対応 $D^{-}=\left|\min_{t}\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right|$ $_0\text{: }F_{Y}\left(t\right) \geq F_{X}\left(t\right)$ 。
検定統計量 Hに対応。そして $D^{+}=\left|\max_{t}\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right|$ $_0\text{: }F_{Y}\left(t\right) \leq F_{X}\left(t\right)$
＆は、サンプルおよび経験的CDFです。 $F_{Y}\left(t\right)$ $F_{X}\left(t\right)$ $Y$ $X$

次に、これらの線に沿って等価テストの一般的な区間仮説を作成することが合理的である必要があります（等価区間が今のところ対称であると仮定）：

H 、および $^{-}_0\text{: }\left|F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right| \geq \Delta$

H 、少なくとも一つのため。 $^{-}_{\text{A}}\text{: }\left|F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right| < \Delta$ $t$

これは、特定の等価性のテストには、2つの片側「negativist」ヌル仮説を翻訳します（これら二つの仮説があるため、同じ形を取るの両方の と $D^{+}$ $D^{-}$ 厳密に非負です）：

H 、又は $^{-}_{01}\text{: }D^{+} \geq \Delta$

H 。 $^{-}_{02}\text{: }D^{-} \geq \Delta$

拒否両方 H および Hをことを締結するものをもたらす $^{-}_{01}$ $^{-}_{02}$ 。もちろん、等価間隔必要が対称ではなく、及び置き換えることができる（下部）とそれぞれの片面ヌル仮説のために（上）。 $-\Delta < F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right) < \Delta$ $-\Delta$ $\Delta$ $\Delta_{2}$ $\Delta_{1}$

テスト統計（更新：デルタは絶対値記号の外側）
テスト統計および（および暗黙的に残す）は、それぞれH およびH に対応し、次のとおりです。 $D^{+}_{1}$ $D^{-}_{2}$ $n_{Y}$ $n_{X}$ $^{-}_{01}$ $^{-}_{02}$

、そして $D^{+}_{1} = \Delta - D^{+} = \Delta - \left|\max_{t}\left[\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right]\right|$

$D^{-}_{2} = \Delta - D^{-} = \Delta - \left|\min_{t}\left[\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right]\right|$

等価性/関連性閾値
間隔 -OR 、非対称等価間隔-さの単位で表さ使用する場合は及び、または差分確率の大きさを。及びアプローチ無限のCDF またはのために接近のために $[-\Delta, \Delta]$ $[\Delta_{2}, \Delta_{1}]$ $D^{+}$ $D^{-}$ $n_{Y}$ $n_{X}$ $D^{+}$ $D^{-}$ $n_{Y},n_{X}$ $0$ $t<0$ 、およびのための： $t \ge 0$

lim_{n_{Y}, n_{X} \to \infty} p^{+} = P (\sqrt{\frac{n_{Y} n_{X}}{n_{Y} + n_{X}}} D^{+} \leq t) = 1 - e^{- 2 t^{2}}

$\lim_{n_{Y},n_{X}\to \infty}p^{+} = \text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{Y}n_{X}}{n_{Y}+n_{X}}}D^{+} \le t\right) = 1 - e^{-2t^{2}}$

$CDF of $D^{+}$ (or $D^{-}$)$

それは私には思えるように、サンプルサイズ、拡大縮小のためのPDFことを（またはサンプルサイズスケール）である必要がありますのため、およびのための： $D^{+}$ $D^{-}$ $0$ $t<0$ $t \ge 0$

f (t) = 1 - e^{- 2 t^{2}} \frac{d}{d t} = 4 t e^{- 2 t^{2}}

$f(t) = {1 - e^{-2t^{2}}}\frac{d}{dt} = 4te^{-2t^{2}}$

$PDF of $D^{+}$ (or $D^{-}$)$

Glen_bは、これがレイリー分布であることを指摘しています。サンプルサイズ・スケーリングのための大きなサンプル分位関数ように及びです。 $\sigma=\frac{1}{2}$ $D^{+}$ $D^{-}$

{CDF}^{- 1} = Q (p) = \sqrt{\frac{- \ln (1 - p)}{2}}

$\text{CDF}^{-1} = Q\left(p\right) = \sqrt{\frac{-\ln{\left(1 - p\right)}}{2}}$

and a liberal choice of $\Delta$ might be the critical value $Q_{\alpha}+\sigma/2 = Q_{\alpha}+\frac{1}{4}$ , and a more strict choice the critical value $Q_{\alpha}+\sigma/4=Q_{\alpha}+\frac{1}{8}$ .

— Alexis
ソース

In the line where you pass from the cdf to the pdf, I think you got that wrong. Let

K_{n_{Y}, n_{X}} = \sqrt{\frac{n_{Y} n_{X}}{n_{Y} + n_{X}}} D^{+}

$K_{n_{Y},n_{X}}=\sqrt{\frac{n_{Y}n_{X}}{n_{Y}+n_{X}}}D^{+}$ , so (abusing notation), in the limit

P (K_{\infty, \infty} \leq t) = 1 - e^{- 2 t^{2}}

$P(K_{\infty,\infty}\leq t) = 1 - e^{-2t^{2}}$ . Then

f_{K} (t) = \frac{d}{d t} 1 - e^{- 2 t^{2}} = 4 t e^{- 2 t^{2}}

$f_K(t) = \frac{d}{dt} 1 - e^{-2t^2} = 4t\, e^{-2t^2}\quad$ (note the

t

$t$ after the

4

$4$ ). (note also a missing sign in the exponent in the line above the taking of the derivative. Also I'm not sure why you have an integral symbol there, but maybe I misunderstood something.)

— Glen_b -Reinstate Monica

@stochazesthai

D_{1}

$D_{1}$ and

D_{2}

$D_{2}$ are two one-sided test statistics. Per TOST you need to reject both the null hypotheses to which these test statistics apply.

Q_{α}

$Q_{\alpha}$ is a critical value from CDF

^{- 1}

$^{-1}$ on the above line, and where you want to sub in

1 - α

$1-\alpha$ for

p

$p$ (e.g.

Q_{α} = \sqrt{\frac{- \ln (1 - (1 - α))}{2}}

$Q_{\alpha} = \sqrt{\frac{-\ln{(1-(1-\alpha))}}{2}}$ ). The choice of

Δ

$\Delta$ depends on how far past

Q_{α}

$Q_{\alpha}$ (the critical rejection value for a plain old positivist

H_{0}

$H_{0}$ ) you need to go, before you conclude relevant difference (e.g. liberal 'equivalence' is

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

σ

$\sigma$ beyond

Q_{α}

$Q_{\alpha}$ ).

— Alexis

@stochazesthai (Continuing) So if both

D_{1} \geq Δ

$D_{1} \ge \Delta$ and

D_{2} \geq Δ

$D_{2} \ge \Delta$ , then you reject

H_{0}^{-}

$H_{0}^{-}$ .

— Alexis

@stochazesthai Whoops! I should have put the quotes around the word liberal rather than equivalence two comments back. :)

— Alexis

@stochazesthai If

D_{1} \geq Δ

$D_{1} \ge \Delta$ , then reject

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$ , if

D_{1} < Δ

$D_{1} < \Delta$ , then fail to reject

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$ . If

D_{2} \geq Δ

$D_{2} \ge \Delta$ , then reject

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$ , if

D_{2} < Δ

$D_{2} < \Delta$ , then fail to reject

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$ . If reject both

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$ and

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$ , then reject

H_{0}^{-}

$H^{-}_{0}$ , otherwise fail to reject

H_{0}^{-}

$H^{-}_{0}$ .

— Alexis

An alternative to TOST in equivalence testing is based on the confidence interval approach:

Let $\Delta$ denote the prespecified equivalence margin and

θ := sup_{t} | F_{X} (t) - F_{Y} (t) |

$\theta := \sup_t |F_X(t) - F_Y(t)|$ the Kolmogorov-Smirnov distance between the unknown underlying distribution functions.

Now, if a 90% confidence interval for $\theta$ is completely within $[-\Delta, \Delta]$ , then we may be 95% certain that $\theta$ is enough close to 0 to speak of "equivalence".

Without knowing the underlying distributions, it seems to be hopeless to derive an approximate analytic confidence interval, so we might need to rely on (bias corrected) bootstrap confidence intervals based on resampling from pairs $X$ and $Y$ . (I don't want to find conditions for their validity in this particular application though...)

— Michael M
ソース

Excellent. Do you have a citation for anyone undertaking the CI of

D_{n_{1}, n_{2}}

$D_{n_{1},n_{2}}$ (bootstrap or otherwise)?

— Alexis

Good point... The short paper tomswebpage.net/images/K-S_test.doc mentions the "Handbook of Parametric and Nonparametric Statistical Procedures, Fifth Edition by David J.Sheskin (Apr 27, 2011)." to offer a two-sample case construcion for D. But at the moment, I don't have access to this book.

— Michael M