片側コルモゴロフ・スミルノフ検定からの

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片側コルモゴロフスミルノフ検定の $p$ 値を取得する方法を理解しようとしています。2標本の場合、および CDFを見つけるのに苦労しています。以下は、1つのサンプルの場合の CDFとしていくつかの場所で引用されています。 $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{+}_{n}$

p_{n}^{+} (x) = P (D_{n}^{+} \geq x | H_{0}) = x \sum_{j = 0}^{⌊ n (1 - x) ⌋} (\binom{n}{j}) {(\frac{j}{n} + x)}^{j - 1} {(1 - x - \frac{j}{n})}^{n - j}

$p^{+}_{n}\left(x\right) = \text{P}\left(D^{+}_{n} \ge x | \text{H}_{0}\right) = x\sum_{j=0}^{\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor}{ \binom{n}{j} \left(\frac{j}{n}+x\right)^{j-1}\left(1 - x - \frac{j}{n}\right)^{n-j}}$

また、whuber sezは、この1つのサンプルのCDFのわずかに異なる定式化があります（ここでの表記との整合性を保つために、彼の引用のを $x$ に置き換えています）。 $t$

確率積分変換を使用して、ドナルドクヌースはpでの（共通の）分布を導出します。TAoCP Volume 2の57とエクササイズ17 。

(D_{n}^{+} \leq \frac{x}{\sqrt{n}}) = \frac{x}{n^{n}} \sum_{c \leq k \leq x} (\binom{n}{k}) {(k - x)}^{k} {(x + n - k)}^{n - k - 1}

$\left(D^{+}_{n}\le \frac{x}{\sqrt{n}}\right)=\frac{x}{n^{n}}\sum_{c\le k\le x}\binom{n}{k}\left(k-x\right)^{k}\left(x+n-k\right)^{n-k-1}$

H：これは、以下のような1サンプルの場合における片側仮説に適用される、の経験的CDFであり、および、いくつかのCDFです。 $_{0}\text{: }F(x)-F_{0} \le 0$ $F(x)$ $x$ $F_{0}$

私が考える、この場合には、の値である人のサンプルにおいて、その最大の整数である。（そうですか？） $x$ $D^{+}_{n}$ $\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor$ $n-nx$

しかし 2つのサンプルがある場合（または）のCDFは何ですか？例えば、H の経験のCDFのためにと？を取得する方法は？ $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$ $_{0}\text{: }F_{A}(x)-F_{B}(x) \le 0$ $A$ $B$ $p^{+}_{n_{1},n_{2}}$

self-study kolmogorov-smirnov cdf

— アレクシス
ソース

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この質問への回答を見ている人へのポインタのように-Alexisの以前の質問（上記の質問にリンクされています）への私の回答には、いくつかの参照へのリンクがあり、それぞれの歴史についての議論があり、それぞれに関連する参照がいくつかあります。それらのドキュメントと参照のリストを確認することをお勧めします。

— Glen_b-モニカを復活させる14

@Glen_bありがとうございます！私は他の質問に対するあなたの優れた回答に本当に感謝しています。引用されたリソースをフォローしましたが、

のCDFについては何も牽引していませんでした。コメントを取り消すのではなく、新しいクエリを開くだけだと思いました。追加で参照できるものがあれば歓迎します。

D^{+}

$D^{+}$

— Alexis 14

アレクシス：私のコメントによる批判は意図されていません。新しい質問を開くというあなたの選択は正しかった（私の意見では）。私は人々に関連する参照のいくつかを追跡する際に少しの手間を省いたかっただけです-他の質問へのリンクをたどるのが必ずしもすべての人に起こるとは限らず、私の中でそのリンクを行った人には起こらないかもしれないと思いました回答には、知りたいと思われる参考文献がいくつかありました。

— Glen_b-モニカを再開する14

回答:

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わかりました、これで刺します。重要な洞察を歓迎します。

$m,n$ $d$ $n_{1},n_{2}$ $x$

P (D_{n_{1}, n_{2}} \geq x) = 1 - P (D_{n_{1}, n_{2}} \leq x) = 1 - \frac{A (n_{1}, n_{2})}{(\binom{n_{1} + n_{2}}{n_{1}})}

$\text{P}{\left(D_{n_{1},n_{2}}\ge x\right)} = 1 - \text{P}\left(D_{n_{1},n_{2}} \leq x\right)=1-\frac{A\left(n_{1},n_{2}\right)}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$

$A\left(n_{1},n_{2}\right)$ $n_{1}$ $n_{2}$ $\left(n_{1},n_{2}\right)$ $S_{m}(x)$ $F_{n_{1}}(x)$ $n_{1}F_{1}\left(x\right)$ $n_{2}F_{2}\left(x\right)$ $x$

\frac{n_{2}}{n_{1}} \pm \frac{(n_{1} + n_{2}) x}{(\binom{n_{1} + n_{2}}{n_{1}})}

$\frac{n_{2}}{n_{1}} \pm \frac{\left(n_{1}+n_{2}\right)x}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$

$A(3,4)$

ギボンズとチャクラボルティ（1992年）ノンパラメトリック統計推論の193ページの図3.2。

$p$ $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$

$n_{1}$ $n_{2}$ $D_{n_{1},n_{2}}$

lim_{n_{1}, n_{2} \to \infty} P (\sqrt{\frac{n_{1} n_{2}}{n_{1} + n_{2}}} D_{n_{1}, n_{2}} \leq x) = 1 - 2 \sum_{i = 1}^{\infty} {(- 1)}^{i - 1} e^{- 2 i^{2} x^{2}}

$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - 2\sum_{i=1}^{\infty}{\left(-1\right)^{i-1}e^{-2i^{2}x^{2}}}$

そして、それらは（または）の制限CDFを次のように与えます： $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$

lim_{n_{1}, n_{2} \to \infty} P (\sqrt{\frac{n_{1} n_{2}}{n_{1} + n_{2}}} D_{n_{1}, n_{2}}^{+} \leq x) = 1 - e^{- 2 x^{2}}

$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D^{+}_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - e^{-2x^{2}}$

ので、及び厳密に非負であり、CDFは、上に非ゼロ値を取ることができる。 $D^{+}$ $D^{-}$ $[0,\infty)$

$$ D ^ {+} $（または$ D ^ {-} $）のCDF$

参考文献
ギボンズ、JDおよびチャクラボルティ、S（1992）。ノンパラメトリック統計推論。Marcel Decker、Inc.、第3版、改訂および拡張版。

ホッジス、JL（1958）。スミルノフ2標本検定の有意確率。Arkivförmatematik。3（5）：469--486。

— アレクシス
ソース

1

実際の累積分布関数はどこにでも存在しますが、、累積分布関数はゼロになります。あなたが与えた関数形はのみ適用され（これは簡単な推論に適しています何ですか？

(- \infty, 0)

$(-\infty,0)$

x \geq 0

$x\geq 0$

P (D^{+} < 0)

$P(D^+<0)$

— Glen_b -Reinstate Monica

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