「高度に非線形」とはどういう意味ですか？

私はしばしば、関数が「高度に非線形」であることについて読みました。私の理解では、「線形」と「非線形」がありますが、これは「非常に」何ですか？非線形と形式的な違いはありますか？どのように定義されていますか？

正式な定義はないと思います。それは単にそれが非線形であるだけでなく、線形近似でモデル化しようとすると合理的な結果が得られず、フィッティング方法が不安定になる可能性さえあることを単に意味するという私の印象です。誰かがこれを使用して、小さな入力変更が出力の直感に反した大きな変更をもたらす可能性があることを単に意味する場合もあります。

正式な意味では、2次導関数はゼロとは大きく異なると言えます。0が対象ドメインの2次導関数の「合理的な」近似である場合、線形に近くなりますが、そうでない場合は、非線形効果をキャプチャすることが非常に重要になります。

このような用語が比較的単純な多項式に適用されることはめったにありません。実際に使用される場合、発散力学系（カオス理論のようなもの）、または非常に滑らかでない関数（はるかに高次の導関数がゼロでない場合）に適用されるようです。 ）。

他の優れた答えから欠けている重要な側面はドメインです。例えば、は$f(x)=x^2$

• 高非線形にが$[-10;10]$
• ドメインのいずれかの半分ではありません（つまり、と[ 0の両方で$[-10;0]$一つは、おそらくの線形近似を使用することができる Fを即時災害せず）。$[0;10]$$f$

別の例はです。$f(x)=x^3-x$

• 高非線形にが$[-1;1]$
• より大きなドメインではない$[-10;;10]$

他にも述べたように、正式な定義はないと思います。引数に対する外乱の典型的な範囲で線形に近似できない関数として定義します。例えば、次のものが、及びσ 2 = V R [ X ]。次に、もし近似F （X + σ ）≈ F （X ）+ F '（X ）σ ）= E X P （X $y=f(x)$$\sigma^2=var[x]$$f(x+\sigma)\approx f(x)+f'(x)\sigma$ブレークダウンし、それは非常に非線形です。たとえば、いずれかのために高度に非線形であろう Xそのテーラー級数であるため、ゼロの周りに 1 + X 2 + X 4 / 2 + O （X 5）。$f(x)=exp(x^2)$$x$$1+x^2+x^4/2+O(x^5)$

非公式に...「高度に非線形」とは、「盲人でも直線ではないことがわかる」という意味です。;）個人的には、現実世界の例で使用すると、何らかの形で「あなたの顔に爆発する」という危険の兆候と考えています。

ハノイの塔は、非常に非線形の例と呼ばれる可能性があります...伝説は、修道士が64個のディスクスタックを完了すると、世界は終わります。トレーニング、給餌、住居、そしてすべての人に感謝のない退屈で無意味な多世代のタスクをサポートするように動機付けるのに費やした合計時間を数えると、人件費の総コストは本当に吹き飛ばされるでしょう！

プロの数学者として、「高度に非線形」が数学的に正確に定義された用語ではないことを確認できます。:)

そして、私が考えることができる「非常に何か」のどれも。

非線形は正確で、線形の反対です（明らかに）。

しかし、線形には2つの異なる意味があります。

• $f(x) = ax+b$
• $f(x) = ax$$b$

$(ax + b)$