情報ジオメトリの明確化

この質問は、Amariによる論文「曲線指数ファミリの曲がった幾何学-曲率と情報損失」に関係しています。

テキストは次のようになります。

LET であるの座標系との確率分布の次元マニホールド、想定され... $S^n=\{p_{\theta}\}$ $n$ $\theta=(\theta_1,\dots,\theta_n)$ $p_{\theta}(x)>0$

私たちは、すべてのポイントを考えることがの機能搭載などの ... $\theta$ $S^n$ $\log p_{\theta}(x)$ $x$

ましょうの正接空間であるにおける、大まかに言えば、である、の小さな近傍の線形化バージョンで識別で。してみましょうの自然の基礎となる協調システムに関連付けられています... $T_{\theta}$ $S^n$ $\theta$ $\theta$ $S^n$ $e_i(\theta), i=1,\dots,n$ $T_{\theta}$

各点のでの機能搭載の、考えるのが自然であるにおけるの関数として表す $\theta$ $S^n$ $\log p_{\theta}(x)$ $x$ $e_i(\theta)$ $\theta$

e_{i} (θ) = \frac{\partial}{\partial θ_{i}} \log p_{θ} (x) .

$e_i(\theta)=\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}(x).$

私は最後の声明を理解していません。これは、上記の論文のセクション2に記載されています。接線空間の基準は上記の方程式でどのように与えられますか？この種の資料に精通しているこのコミュニティの誰かが私がこれを理解するのを助けてくれると助かります。ありがとう。

更新1：

場合、私は（@aginenskyから）ことを同意するが、、その後直線的に独立している $\frac{\partial}{\partial\theta_i}p_{\theta}$ これらが最初の場所で接空間のメンバーであるかも線形独立であるが、非常に明確ではありません。それでは、どの缶 $\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}$ 接空間のための基礎として考慮されます。どんな助けでもありがたいです。 $\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}$

アップデート2：

@aginensky：彼の本でアマリは次のように言っています：

のすべての（厳密に）正の確率測度のセットであるの場合を考えここで、をサブセットと見なします。。実際、はアフィン空間 $S^n=\mathcal{P}(\mathcal{X})$ $\mathcal{X}=\{x_0,\dots,x_n\}$ $\mathcal{P}(\mathcal{X})$ $\mathbb{R}^{\mathcal{X}}=\{X\big|X:\mathcal{X}\to \mathbb{R}\}$ $\mathcal{P}(\mathcal{X})$ 。 $\{X\big |\sum_x X(x)=1\}$

次に、すべての点でのの接線空間は、線形部分空間。自然の根拠のために $T_p(S^n)$ $S^n$ $\mathcal{A}_0=\{X\big |\sum_x X(x)=0\}$ coordianteシステムの、我々は持っている $\frac{\partial}{\partial\theta_i}$ $\theta=(\theta_1,\dots,\theta_n)$ 。 $(\frac{\partial}{\partial\theta_i})_{\theta}=\frac{\partial}{\partial\theta_i}p_{\theta}$

次に、私たちは別の埋込みみましょう、および特定のサブセットをの。接線ベクトル次に動作の結果で表されるに我々はによって示し、。特に、 $p\mapsto \log p$ $S^n$ $\log S^n:=\{\log p\big |p\in S^n\}$ $\mathbb{R}^{\mathcal{X}}$ $X\in T_p(S^n)$ $X$ $p\mapsto \log p$ $X^{(e)}$ 。あり、ことは明らかです $(\frac{\partial}{\partial\theta_i})_{\theta}^{(e)}=\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}$ $X^{(e)}=X(x)/p(x)$

T_{p}^{(e)} (S^{n}) = {X^{(e)} | X \in T_{p} (S^{n})} = {A \in R^{X} | \sum_{x} A (x) p (x) = 0} .

$T_p^{(e)}(S^n)=\{X^{(e)}\big |X\in T_p(S^n)\}=\{A\in \mathbb{R}^{\mathcal{X}}\big |\sum_x A(x)p(x)=0\}.$

私の質問：両方の場合と $\frac{\partial}{\partial\theta_i}$ 接線空間のための基礎であり、これは事実と矛盾しないであろうと別個であるとを $(\frac{\partial}{\partial\theta_i})^{(e)}$ $T_p$ $T_p^{(e)}$ ？ $\frac{\partial}{\partial\theta_i}^{(e)}\in T_p^{(e)}$

$S^n,T_p$ $(\log S^n,T_p^{(e)})$

— アショク
ソース

個人的に、私はあなたの混乱を理解しています。座標 "を使用するのは自然ではないようです

e_{i} (θ) = \frac{\partial}{\partial θ_{i}} \log p_{θ} (x)

$e_i(\theta)=\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}(x)$

θ_{i}

$\theta_{i}$

\frac{\partial}{\partial θ_{i}}

$\frac{\partial}{\partial\theta_i}$

p_{θ}

$p_{\theta}$

わかりやすくするためにコメントを編集しようとしましたが、許可されませんでした。詳細が必要な場合はお知らせください。

— meh 2014

\frac{\partial}{\partial θ_{i}} \log p_{θ} (x) = 1 / p_{θ} (x) \frac{\partial}{\partial θ_{i}} p_{θ} (x)

$\frac{\partial}{\partial\theta_i}\log p_{\theta}(x)=1/p_{\theta}(x)\frac{\partial}{\partial\theta_i}p_{\theta}(x)$

{d θ_{i}}

$\{d\theta_i\}$

{\frac{\partial}{\partial θ_{i}}}

$\{\frac{\partial}{\partial\theta_i}\}$

d θ

$d\theta$

p_{θ}

$p_{\theta}$

私のコメントはとても長いので、私はそれらを答えとして入れています。

$R^n$ $R^n$ $R^n$ $R^n$ $R^n$

$S^n$ $\theta_{i}$ $p_{\theta}$ $S^n$ $p$ $p$ $\theta_{i}$ $R^n$ $p_{\theta}$ $p$

$\{1,2,3\}$ $\{a,b,c\}$ $R^{+}$ $R$ $>0$ マップが接線空間上にあるものを検討します。ようやくあなたの質問を理解しましたか？注意が必要です。つまり、微分幾何学は私の専門分野ではありません。私はそれを正しく理解していると思いますが、この答えを批判したり、疑問を投げかけたりしてください。

— まぁ
ソース

f_{*}

$f_{*}$

p

$p$

G = [g_{i, j}]

$G=[g_{i,j}]$

g_{i, j} = \sum_{x} \partial_{i} p_{θ} (x) \partial_{j} \log p_{θ} (x)

$g_{i,j}=\sum_x\partial_i p_{\theta}(x)~\partial_j\log p_{\theta}(x)$

\partial_{j} \log p_{θ}

$\partial_j\log p_{\theta}$