特異な共分散行列を持つ多変量分布は密度関数を持つことができますか？

上の多変量分布に特異共分散行列があるとします。密度関数がないと結論付けることはできますか？$\mathbb R^n$

たとえば、多変量正規分布の場合ですが、他のすべての多変量分布に当てはまるかどうかはわかりません。

これは、ルベーグ測度に対するラドン・ニコディム微分の存在の問題だと思いますが、素確率論にも答えがあるかもしれません。$\mathbb R^n$

線形結合が存在すること特異共分散行列手段 のランダムように変数 及び。したがって、すべての確率質量は、によって定義される 超平面にあるため、確率変数は変量密度関数を持つことができません。$Y = \sum_{i=1}^n a_i X_i$$n$$E[Y] = a_0$$\operatorname{var}(Y) = 0$$\mathbb R^n$$\sum_{i=1}^n a_i x_i = a_0$$n$$n$

はい、しかしそれはより低次元の部分空間にわたる確率分布になります。ディラックデルタ関数などを許可すると、これはR ^ Nの確率分布であると主張できます。それは微妙な数学的問題ですが、たとえば物理学者はいつもそうしています。

これについては上記で触れましたが、意味のある密度がない場合でも、Rank（）次元の部分空間に密度を定義できることを明確にしたいと思います。ここで、は共分散行列を示します。$\mathbb{R}^{n}$$\Sigma$$\Sigma$