微分幾何学は統計と関係がありますか？

私は統計学の修士号を取得しており、微分幾何学を学ぶことをお勧めします。私はやる気を起こさせるので、微分幾何学の統計的応用について聞いて喜んでいるでしょう。統計の微分幾何学のアプリケーションを知っている人はいますか？

件名に関する2つの正規の本、レビュー、および他の2つの参照：

• 微分幾何学と統計、MKマレー、JWライス

  1945年にRaoが確率分布のファミリーに関するフィッシャー情報メトリックを導入して以来、微分幾何学の統計への適用に統計学者の間で関心が寄せられてきました。この関心は、過去数十年で多数の研究者の研究により急速に増加しました。これまで、統計学者のより広いコミュニティへのこれらのアイデアの普及の障害は、統計学者がアクセス可能な方法で微分幾何学への現代の座標自由なアプローチを紹介する適切なテキストの欠如です。この本はこのギャップを埋めることを目的としています。著者は、微分幾何学と統計学へのその応用における広範な研究経験を本にもたらします。本は、最も単純な微分多様体の研究から始まります-アフィン空間とそれらの指数族との関連性は、一般理論、フィッシャー情報メトリック、アマリ接続および漸近性に渡ります。それは、ベクトル束、原理束、ジェットの理論と、ストリングの理論へのそれらの応用で頂点に達します-現在、統計学と微分幾何学の研究の最先端のトピックです。

• 情報幾何学の方法、S.-I。甘利永岡

  情報ジオメトリは、数学科学に新しい分析の枠組みを提供します。これは、確率分布の多様体上の自然な微分幾何構造の調査から明らかになりました。これは、フィッシャー情報によって定義されるリーマン計量と、結合と呼ばれるアフィン結合の1パラメータ族から構成されます。間の双対性α -connection及び（- α $\alpha$$\alpha$$(-\alpha)$-メトリックとの接続は、このジオメトリで重要な役割を果たします。確率分布の多様体から出現したこの種の双対性は遍在しており、確率理論と明示的な関係がないかもしれないさまざまな問題に現れています。二重性により、統一された視点でさまざまな基本的な問題を分析することが可能です。この本の前半は、微分幾何学、多様体または確率分布の幾何学、および二重アフィン結合の一般理論からの予備知識を含む、情報幾何学の数学的基礎の包括的な紹介に専念します。テキストの後半では、統計、線形システム、情報理論、量子力学、凸解析、ニューラルネットワークなど、アプリケーションの多くの分野の概要を説明します。アフィン微分幾何学。この本は、上級学部生や大学院生向けのトピックコースの適切なテキストとして役立ちます。

• 統計的推論における微分幾何学、S.-I。Amari、OE Barndorff-Nielsen、RE Kass、SL Lauritzen、CR Rao、IMS講義ノートMonogr。Ser。第10巻、1987年、240ページ

• 統計理論における微分幾何学の役割、OE Barndorff-Nielsen、DR Cox and N.Reid、International Statistics Review / Revue Internationale de Statistique、Vol。54、No。1（1986年4月）、83-96ページ

リーマン幾何学は、確率場の研究（確率過程の一般化）で使用されます。ここで、過程は定常である必要はありません。私が研究している参考文献は、2つのレビューとともに以下に示されています。海洋学、天体物理学、脳イメージングのアプリケーションがあります。

ランダムフィールドとジオメトリ、Adler、RJ、Taylor、Jonathan E.

http://www.springer.com/us/book/9780387481128#otherversion=9781441923691

レビュー：

$f$$\Bbb{P}\{\sup_{t\in M}f(t)\ge u\}$$M$リーマン成層多様体であり、そのアプローチは幾何学的な性質のものです。本は3つの部分に分かれています。パートIでは、ガウスのプロセスとフィールドに必要なツールのプレゼンテーションに専念します。パートIIでは、積分および微分ジオメトリに必要な前提条件を簡潔に公開しています。最後に、パートIIIでは、本の核であるエクスカーションセットのオイラー特性関数の期待値の公式と、フィールドの最大値の分布への近似が正確に確立されます。本は非公式のスタイルで書かれており、非常に快適に読むことができます。各章は、対処すべき事項のプレゼンテーションから始まり、本文全体にある脚注は不可欠な補完物として機能し、多くの場合、歴史的参照として機能します。

「この本は、エクスカーション確率の現代理論と、多様体上で定義されたランダムなフィールドのエクスカーションセットのジオメトリを示しています。 、提示された数学理論の美しさと深さは、すべての数学ライブラリの不可欠な部分であり、ガウス過程、ランダム場、およびその統計的応用に関心のあるすべての確率論者の本棚です。」（Ilya S.Molchanov、Zentralblatt MATH、Vol。1149、2008）

微分幾何学が本質的な方法で使用される統計学/応用数学の1つの領域（数学の他の多くの領域と一緒に！）はパターン理論です。Ulf Grenanderの本をご覧ください：https ://www.amazon.com/Pattern-Theory-Representation-Inference-European/dp/0199297061/ref=asap_bc ? ie=UTF8 またはややアクセスしやすいテキストデヴィッド・マンフォード（劣らずフィールズ賞受賞者）： https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Stochastic-Real-World-Mathematics/dp/1568815794/ref=pd_bxgy_14_img_2?_encoding=UTF8&pd_rd_i=1568815794&pd_rd_r=Q40ESHME10ZPC7XYVT59&pd_rd_w=fBcaR&pd_rd_wg = LIesY＆psc = 1＆refRID = Q40ESHME10ZPC7XYVT59

最後のテキストの序文から：

「パターン理論」という用語は、世界のパターン構造の分析に対する彼のアプローチを「パターン認識」と区別するためにウルフ・グレナンダによって作られました。本書では、分析に使用される統計的方法画像、音声、テキスト、DNAまたはタンパク質の文字列、ニューロンのスパイク列、価格や天気の時系列など、世界が生成するすべての「信号」。これらのすべての例は、Grenanderの著書Elements of Pattern Theory [94]、またはパターン理論に関する同僚、共同研究者、および学生の研究のいずれかに掲載されています。

微分ジオメトリが使用される1つの例は、顔モデルです。

@whuberの質問（コメント）に答えようとしているので、「計算解剖学」というタイトルのGrenanderの本の第16章を見てください。そこにある多様体は、人間の解剖学のさまざまな部分（炉床など）を表すために使用され、微分解剖学はこれらの解剖学的多様体の変化を表すために使用されます。このアイデアは、1917年からのダーシートンプソンの「成長と形に関する」記念碑的な論文にまでさかのぼることができます。

グレナンダはその論文から引用し続けます：

形態学の非常に大きな部分において、私たちの本質的な仕事は、それぞれの正確な定義ではなく、関連するフォームの比較にあります。また、複雑な図形の変形は理解しやすい現象かもしれませんが、図形自体は分析および定義されないままにしておく必要があります。この比較プロセスは、元の「タイプ」または比較の標準の正確かつ適切な理解とは別に、ある形式で別の形式の明確な順列または変形を認識することで、数学の直接の領域内にあり、その解決策を見つけます数学者の特定の方法の基本的な使用。この方法は座標の方法であり、変換の理論に基づいています。

このアイデアの最もよく知られている例は、3年前など、子供が姿を消したときで、ある人が彼の顔の写真を公開します。