重回帰において「その他はすべて等しい」とはどういう意味ですか？

重回帰を行って、変数の変化について変数の平均変化を調べて、他のすべての変数を一定に保持している場合、他の変数を一定に保持しているのはどの値ですか？彼らの平均？ゼロ？値はありますか？ $y$ $x$

私はそれが価値があると思う傾向があります。明確化を探しています。誰かが証拠を持っているなら、それも素晴らしいでしょう。

— EconStats
ソース

これを理解するには、Peter Kennedyの論文の例10が非常に役立ちました。

— Dimitriy V. Masterov 14

ええ、平方フィートを一定に保ちながら部屋数を増やすことは、本当に注目すべきポイントです。その論文は実際には有用なアイデアの宝庫であり、博士論文に記載されています。

— EconStats 14

これは実際には非常に興味深い質問です。経済学者は「セテリスパリバス」の正確な意味を自問するのでしょうか。

— ムゲン

あなたが正しいです。技術的には、任意の値です。しかし、これを教えるとき、私は通常、他のすべての変数がそれぞれの手段で保持されているときに、 1単位の変更の効果を得ていることを人々に伝えます。これはそれを説明するための一般的な方法であり、私に固有のものではないと思います。 $X_j$

通常、相互作用がない場合、他の変数の値に関係なく、は 1単位の変更の影響になります。しかし、私は平均的な定式化から始めたいです。その理由は、回帰モデルに複数の変数を含めると2つの効果があるためです。最初に、他の変数を制御するの効果を取得します（ここでの私の答えを参照）。2番目は、他の変数の存在により（通常）モデルの残差分散が減少し、変数（を含む $\beta_j$ $X_j$ $X_j$ $X_j$ ）「より重要」。他の変数の値がいたるところにある場合、これがどのように機能するかを理解するのは困難です。それはどういうわけか変動性を増加させるようです。他のすべての変数がそれぞれの平均に移動するまで、各データポイントを他の変数の値に対して上下に調整することを考えている場合、残留変動性が減少していることがわかりやすくなります。 $X$

重回帰の基本を導入してから1〜2クラスになるまで、相互作用にならない。しかし、私が彼らに着いたら、この資料に戻ります。上記は、相互作用がない場合に適用されます。相互作用がある場合、より複雑です。その場合、相互作用する変数[s]はに一定に（非常に具体的に）保持され、他の値にはなりません。 $0$

これが代数的にどのように行われるかを確認したい場合は、かなり簡単です。相互作用のないケースから始めることができます。のがの変更を決定しましょう他の全ての変数は、それぞれの手段で一定に保持されています。一般性を失うことなく、の3つのがあるとしましょう変数は、我々は変更方法を理解することに興味がある 1つの単位変化に関連付けられている、保持およびのそれぞれの手段で一定に： $\hat Y$ $X$ $\hat Y$ $X_3$ $X_1$ $X_2$

\begin{aligned} {\hat{Y}}_{私} & = {\hat{β}}_{0} + {\hat{β}}_{1} {\bar{バツ}}_{1} + {\hat{β}}_{2} {\bar{バツ}}_{2} + {\hat{β}}_{3} {バツ}_{3 私} \\ {\hat{Y}}_{私^{'}} & = {\hat{β}}_{0} + {\hat{β}}_{1} {\bar{バツ}}_{1} + {\hat{β}}_{2} {\bar{バツ}}_{2} + {\hat{β}}_{3} （ {バツ}_{3 私} + 1 ） \\ 2番目の方程式から最初の方程式を引く： \\ {\hat{Y}}_{私^{'}} - {\hat{Y}}_{私} & = {\hat{β}}_{0} - {\hat{β}}_{0} + {\hat{β}}_{1} {\bar{バツ}}_{1} - {\hat{β}}_{1} {\bar{バツ}}_{1} + {\hat{β}}_{2} {\bar{バツ}}_{2} - {\hat{β}}_{2} {\bar{バツ}}_{2} + {\hat{β}}_{3} （ {バツ}_{3 私} + 1 ） - {\hat{β}}_{3} {バツ}_{3 私} \\ △ Y & = {\hat{β}}_{3} {バツ}_{3 私} + {\hat{β}}_{3} - {\hat{β}}_{3} {バツ}_{3 私} \\ △ Y & = {\hat{β}}_{3} \end{aligned}

$\begin{align} \hat Y_i &= \hat\beta_0 + \hat\beta_1\bar X_1 + \hat\beta_2\bar X_2 + \hat\beta_3X_{3i} \\ \hat Y_{i'} &= \hat\beta_0 + \hat\beta_1\bar X_1 + \hat\beta_2\bar X_2 + \hat\beta_3(X_{3i}\!+\!1) \\ ~ \\ &\text{subtracting the first equation from the second:} \\ ~ \\ \hat Y_{i'} - \hat Y_i &= \hat\beta_0 - \hat\beta_0 + \hat\beta_1\bar X_1 - \hat\beta_1\bar X_1 + \hat\beta_2\bar X_2 - \hat\beta_2\bar X_2 + \hat\beta_3(X_{3i}\!+\!1) - \hat\beta_3X_{3i} \\ \Delta Y &= \hat\beta_3X_{3i} + \hat\beta_3 - \hat\beta_3X_{3i} \\ \Delta Y &= \hat\beta_3 \end{align}$

とに同じ値を両方の（）に入れる限り、最初の2つの式にと値を入れることができることは明らかです。つまり、と定数を保持している限りです。 $X_1$ $X_2$ $X_1$ $X_2$ $X_1$ $X_2$

一方、相互作用がある場合、この方法ではうまくいきません。ここで、相互作用項がある場合を示します。 $X_1X_3$

\begin{aligned} {\hat{Y}}_{私} & = {\hat{β}}_{0} + {\hat{β}}_{1} {\bar{バツ}}_{1} + {\hat{β}}_{2} {\bar{バツ}}_{2} + {\hat{β}}_{3} {バツ}_{3 私} + {\hat{β}}_{4} {\bar{バツ}}_{1} {バツ}_{3 私} \\ {\hat{Y}}_{私^{'}} & = {\hat{β}}_{0} + {\hat{β}}_{1} {\bar{バツ}}_{1} + {\hat{β}}_{2} {\bar{バツ}}_{2} + {\hat{β}}_{3} （ {バツ}_{3 私} + 1 ） + {\hat{β}}_{4} {\bar{バツ}}_{1} （ {バツ}_{3 私} + 1 ） \\ 2番目の方程式から最初の方程式を引く： \\ {\hat{Y}}_{私^{'}} - {\hat{Y}}_{私} & = {\hat{β}}_{0} - {\hat{β}}_{0} + {\hat{β}}_{1} {\bar{バツ}}_{1} - {\hat{β}}_{1} {\bar{バツ}}_{1} + {\hat{β}}_{2} {\bar{バツ}}_{2} - {\hat{β}}_{2} {\bar{バツ}}_{2} + {\hat{β}}_{3} （ {バツ}_{3 私} + 1 ） - {\hat{β}}_{3} {バツ}_{3 私} + \\ {\hat{β}}_{4} {\bar{バツ}}_{1} （ {バツ}_{3 私} + 1 ） - {\hat{β}}_{4} {\bar{バツ}}_{1} {バツ}_{3 私} \\ △ Y & = {\hat{β}}_{3} {バツ}_{3 私} + {\hat{β}}_{3} - {\hat{β}}_{3} {バツ}_{3 私} + {\hat{β}}_{4} {\bar{バツ}}_{1} {バツ}_{3 私} + {\hat{β}}_{4} {\bar{バツ}}_{1} - {\hat{β}}_{4} {\bar{バツ}}_{1} {バツ}_{3 私} \\ △ Y & = {\hat{β}}_{3} + {\hat{β}}_{4} {\bar{バツ}}_{1} \end{aligned}

$\begin{align} \hat Y_i &= \hat\beta_0 + \hat\beta_1\bar X_1 + \hat\beta_2\bar X_2 + \hat\beta_3X_{3i} \quad\quad\ \! + \hat\beta_4\bar X_1X_{3i} \\ \hat Y_{i'} &= \hat\beta_0 + \hat\beta_1\bar X_1 + \hat\beta_2\bar X_2 + \hat\beta_3(X_{3i}\!+\!1) + \hat\beta_4\bar X_1(X_{3i}\!+\!1) \\ ~ \\ &\text{subtracting the first equation from the second:} \\ ~ \\ \hat Y_{i'} - \hat Y_i &= \hat\beta_0 - \hat\beta_0 + \hat\beta_1\bar X_1 - \hat\beta_1\bar X_1 + \hat\beta_2\bar X_2 - \hat\beta_2\bar X_2 + \hat\beta_3(X_{3i}\!+\!1) - \hat\beta_3X_{3i} + \\ &\quad\ \hat\beta_4\bar X_1(X_{3i}\!+\!1) - \hat\beta_4\bar X_1X_{3i} \\ \Delta Y &= \hat\beta_3X_{3i} + \hat\beta_3 - \hat\beta_3X_{3i} + \hat\beta_4\bar X_1 X_{3i} + \hat\beta_4\bar X_1 - \hat\beta_4\bar X_1X_{3i} \\ \Delta Y &= \hat\beta_3 + \hat\beta_4\bar X_1 \end{align}$

この場合、他のすべてを一定に保つことはできません。相互作用項はと関数であるため、相互作用項も変更せずにを変更することはできません。したがっての変化に等しいにおける1つの単位の変化に伴うのみ相互作用変数（）に保持されているの代わり（または任意の他の値が、）、その場合に下の方程式の最後の項はドロップアウトします。 $X_1$ $X_3$ $X_3$ $\hat\beta_3$ $\hat Y$ $X_3$ $X_1$ $0$ $\bar X_1$ $0$

この議論では、相互作用に焦点を合わせましたが、より一般的には、他の変数のそれぞれの値を変更せずに最初の値を変更することができないような別の関数である変数がある場合の問題です。このような場合には、の意味、より複雑になります。あなたが持つモデルがあった場合たとえば、および、その後、誘導体である $\hat\beta_j$ $X_j$ $X_j^2$ $\hat\beta_j$ 他のすべてを等しく保持し、を保持し（ここでの私の答えを参照）。他の、さらに複雑な定式化も可能です。 $\frac{dY}{dX_j}$ $X_j=0$

— gung-モニカの回復
ソース

おかげで、この答えはいくつかのレベルで素晴らしいです。第一に、それは私が興味を持っていた主要なポイントに答えます。第二に、あなたは私のフォローアップの質問がどうなるかを予測しました。数学もありがとう。この質問は基本的なものですが、これらの概念を明確に表現しすぎることはできないと思います。

— EconStats 14

@EconStats、どういたしまして。数学を含めても問題はありません。何が起こっているのかを理解しやすくすることもあります。

— GUNG -復活モニカ

2番目の式から最初の式を引くと、

と

値がどちらの式でも同じである限り、それが何であるかは問題ではないという私の当初の考えを最終的に確認したと言わざるを得ません。知っていることはとても明白なように思えますが、

そのように計算することを考えたことがありませんでした。私にとっては明確な電球の瞬間。

X_{2}

$X_2$

X_{3}

$X_3$

β

$\beta$

— EconStats 14

wrt

導関数を使用して同じ場所に移動することもできますが、これは簡単な数学（本質的には高校の代数）であるため、より多くのユーザーがアクセスできます。

Y

$Y$

X_{j}

$X_j$

— GUNG -復活モニカ

@beetroot、私があなたを正しく理解していれば、あなたはそれを指定されたレベルで保持するだけです。（そうしないと、新しい質問としてこれを頼むかもしれない。）

— GUNG -復活モニカ

数学は単純です。x変数の1つを1だけ変更した2つのモデルの差を取るだけで、他の変数が何であるかは関係ないことがわかります（相互作用、多項式、または他の複雑な項がない場合）。

一例：

$y_{[1]} = b_0 + b_1 \times x_1 + b_2 \times x_2$

$y_{[2]} = b_0 + b_1 \times (x_1 + 1) + b_2 \times x_2$

$y_{[2]} - y_{[1]} = b_0 - b_0 + b_1\times x_1 - b_1\times x_1 + b_1 \times 1 + b_2 \times x_2 - b_2 \times x_2 = b_1$

— グレッグ・スノー
ソース

共変量（）の依存関係について言及していると思います。モデルは、その場合の効果上ののすべての他のものであるだろう等しい $X_i$

Y = β_{0} + β_{1} {バツ}_{1} + β_{2} {バツ}_{2}

$Y=\beta_{0}+\beta_{1}X_1+\beta_{2}X_2$

X_{i}

$X_i$

Y

$Y$

のための任意の

他のすべてと

任意の値で一定に開催されました。

\frac{Δ Y}{Δ X_{i}}

$\frac{\Delta{Y}}{\Delta{X_i}}$

Δ X_{i}

$\Delta{X_i}$

X_{j}

$X_j$

ことが可能であることに留意してください及び必ずしも線形モデル（に有意な相互作用を示すことなく（互いの例えば機能）に依存しているで）。 $X_1$ $X_2$ $\beta_{12}=0$ $Y=\beta_{0}+\beta_{1}X_1+\beta_{2}X_2+\beta_{12}X_1X_2$

ここで興味深いの接線は一例であるのと同様：レッツ及びその後、明らかに何らかの変化影響する。ただし、2つの間の共分散はゼロです。 $X_1\sim N(0,\sigma_1^2)$ $X_2=X_1^{2}+N(0,\sigma_2^2)$ $X_1$ $X_2$

c o v （ {バツ}_{1} 、 {バツ}_{2} ） = E （ {バツ}_{1} {バツ}_{2} ） - E （ {バツ}_{1} ） E （ {バツ}_{2} ）

$cov(X_1,X_2)=E(X_1X_2)-E(X_1)E(X_2)$

= E [{バツ}_{1} （ {バツ}_{1}^{2} + a ）] - E （ {バツ}_{1} ） 。 E （ {バツ}_{1}^{2} - a ） w 私 t h a 〜 N （ 0 、 σ_{2}^{2} ）

$=E[X_1(X_1^2+a)]-E(X_1).E(X_1^2-a)\,with\,a\sim N(0,\sigma_2^2)$

= E （ {バツ}_{1}^{3} ） - E （ {バツ}_{1} 。 a ） - 0。 E （ {バツ}_{1}^{2} - a ） = 0 - 0 - 0 = 0

$=E(X_1^3)-E(X_1.a)-0.E(X_1^2-a)=0-0-0=0$

だから、現実には変更変更に関連するであろうとすることを $X_1$ $X_2$ $\frac{\Delta{Y}}{\Delta{X_i}}$ $X_1$ $\frac{\Delta{Y}}{\Delta{X_i}}$ $X_i$ $Y$

$\frac{\Delta{Y}}{\Delta{X_i}}$

— ハンス・ロッゲマン
ソース

Hansのおかげで、実際にgungが作成したポイントに到達しようとしていましたが、これは2つの変数が依存している場合の良い例です。

— EconStats 14