2D正規分布の半径のサンプリング分布

平均および共分散行列の2変量正規分布は、半径および角度極座標でことができます。私の質問は、のサンプリング分布とは何ですか、つまり、サンプルの共分散行列与えられたに、点から推定中心までの距離のサンプリング分布は何ですか？ $\mu$ $\Sigma$ $r$ $\theta$ $\hat{r}$ $x$ $\bar{x}$ $S$

背景：ポイントから平均までの真の距離は、ホイト分布に従います。固有値との、及び、その形状パラメータである、およびそのスケールパラメータはです。累積分布関数は、2つのMarcum Q関数の対称差であることがわかっています。 $r$ $x$ $\mu$ $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ $\Sigma$ $\lambda_{1} > \lambda_{2}$ $q=\frac{1}{\sqrt{(\lambda_{1}+\lambda_{2})/\lambda_{2})-1}}$ $\omega = \lambda_{1} + \lambda_{2}$

シミュレーションは、および推定およびを真のcdfにプラグインすると、大きなサンプルでは機能するが、小さなサンプルでは機能しないことを示唆しています。次の図は、200回の結果を示しています $\bar{x}$ $S$ $\mu$ $\Sigma$

指定された（軸）、（行）、および変位値（列）の各組み合わせについて、20個の2D法線ベクトルをシミュレートします $q$ $x$ $\omega$
各サンプルについて、観測された半径からの特定の分位数を計算し $\hat{r}$ $\bar{x}$
各サンプルについて、理論的なホイトから分位数（2D正常）累積分布関数を計算し、サンプル推定値をプラグインした後理論レイリーCDFからと。 $\bar{x}$ $S$

ここに画像の説明を入力してください

以下のように（分布が円形になる）、1に近づき、推定ホイトの位数は影響を受けない推定レイリー分位近づく。、特に分布のテールにおける経験的分位と推定するものが増加との間に、差異を、成長します。 $q$ $q$ $\omega$

— カラカル
ソース

質問はなんですか？

— ジョン

@John私は質問を強調しました：「[半径]サンプリング分布とは何ですか、つまり、サンプルの分散行列与えられた場合、点から推定中心までの距離のサンプリング分布は何ですか？」

r

$r$

x

$x$

\bar{x}

$\bar{x}$

S

$S$

— カラカル14

なぜではなく、ですか？

\hat{r}

$\hat{r}$

\hat{r^{2}}

$\hat{r^2}$

— SomeEE 2014

@MathEE単にので、私は（真）の分布に関係しているのを知っている文献、ない（真）。これは、この質問で説明されているマハラノビス距離の状況とは異なります。もちろん、の配布結果は大歓迎です。

\hat{r}

$\hat{r}$

r

$r$

r^{2}

$r^{2}$

{\hat{r}}^{2}

$\hat{r}^{2}$

— カラカル2014

あなたの投稿で述べたように、が指定されている場合はの推定値の分布がわかるため、真のの推定値の分布がわかります。 $\widehat{r_{true}}$ $\mu$ $\widehat{r^2_{true}}$ $r^2$

我々は、分布見つけたいここで、は列ベクトルとして表されます。

\hat{r^{2}} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} (x_{i} - \bar{x})

$\widehat{r^2} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i-\overline{x})^T(x_i-\overline{x})$

x_{i}

$x_i$

私たちは今、標準的なトリックを行います

\begin{array}{rcl} \hat{r_{t r u e}^{2}} & = & \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - μ)^{T} (x_{i} - μ) \\ = & \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x} + \bar{x} - μ)^{T} (x_{i} - \bar{x} + \bar{x} - μ) \\ = & [\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} (x_{i} - \bar{x})] + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ) (1) \\ = & \hat{r^{2}} + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \widehat{r^2_{true}} &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^T(x_i-\mu)\\ &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x} + \overline{x} -\mu)^T(x_i-\overline{x} + \overline{x}-\mu)\\ &=&\left[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T(x_i-\overline{x})\right] + (\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu) \hspace{20pt}(1)\\ &=& \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu) \end{eqnarray*}$ ここで、は式とその転置。

(1)

$(1)$

\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} (\bar{x} - μ) = (\bar{x} - \bar{x})^{T} (\bar{x} - μ) = 0

$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x})^T(\overline{x}-\mu) = (\overline{x} - \overline{x})^T(\overline{x} - \mu) = 0$

はサンプル共分散行列トレースであり、はサンプル平均のみに依存することに注意してください。したがって、を2つの合計として記述しました独立確率変数。との分布はわかっているので、これを使用して標準のトリックで完了です特性関数は乗法的です。 $\widehat{r^2}$ $S$ $(\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$ $\overline{x}$

\hat{r_{t r u e}^{2}} = \hat{r^{2}} + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ)

$\widehat{r_{true}^2} = \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$

\hat{r_{t r u e}^{2}}

$\widehat{r^2_{true}}$

(\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ)

$(\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu)$

追加するように編集：

$||x_i-\mu||$ Hoytなので、pdf ここで、は第1種の修正ベッセル関数です。

f (ρ) = \frac{1 + q^{2}}{q ω} ρ e^{- \frac{(1 + q^{2})^{2}}{4 q^{2} ω} ρ^{2}} I_{O} (\frac{1 - q^{4}}{4 q^{2} ω} ρ^{2})

$f(\rho) = \frac{1+q^2}{q\omega}\rho e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega} \rho^2}I_O\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega} \rho^2\right)$

I_{0}

$I_0$

0^{t h}

$0^{th}$

これは、のpdf がことを意味します $||x_i-\mu||^2$

f (ρ) = \frac{1}{2} \frac{1 + q^{2}}{q ω} e^{- \frac{(1 + q^{2})^{2}}{4 q^{2} ω} ρ} I_{0} (\frac{1 - q^{4}}{4 q^{2} ω} ρ) .

$f(\rho) = \frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}\rho}I_0\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega}\rho\right).$

表記を簡単にするために、および。 $a = \frac{1-q^4}{4q^2\omega}$ $b=-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}$ $c=\frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}$

のモーメント生成関数は $||x_i-\mu||^2$

{\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s - b)^{2} - a^{2}}} & (s - b) > a \\ 0 & else \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s-b)^2-a^2}} & (s-b) > a\\ 0 & \text{ else}\\ \end{cases}$

したがって、のモーメント生成関数はおよびのモーメント生成関数は $\widehat{r^2_{true}}$

{\begin{cases} \frac{c^{N}}{((s / N - b)^{2} - a^{2})^{N / 2}} & (s / N - b) > a \\ 0 & else \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c^N}{((s/N-b)^2-a^2)^{N/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{else} \end{cases}$

| | \bar{x} - μ | |^{2}

$||\overline{x} - \mu||^2$

{\begin{cases} \frac{N c}{\sqrt{(s - N b)^{2} - (N a)^{2}}} = \frac{c}{\sqrt{(s / N - b)^{2} - a^{2}}} & (s / N - b) > a \\ 0 & else \end{cases}

$\begin{cases} \frac{Nc}{\sqrt{(s-Nb)^2-(Na)^2}} = \frac{c}{\sqrt{(s/N-b)^2-a^2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else} \end{cases}$

これは、のモーメント生成関数が $\widehat{r^2}$

{\begin{cases} \frac{c^{N - 1}}{((s / N - b)^{2} - a^{2})^{(N - 1) / 2}} & (s / N - b) > a \\ 0 & else . \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c^{N-1}}{((s/N-b)^2-a^2)^{(N-1)/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else}. \end{cases}$

逆ラプラス変換を適用すると、にpdf $\widehat{r^2}$

g (ρ) = \frac{\sqrt{π} N c^{N - 1}}{Γ (\frac{N - 1}{2})} {(\frac{2 i a}{N ρ})}^{(2 - N) / 2} e^{b N ρ} J_{N / 2 - 1} (i a N ρ) .

$g(\rho) = \frac{\sqrt{\pi}Nc^{N-1}}{\Gamma(\frac{N-1}{2})}\left(\frac{2\mathrm{i} a}{N\rho}\right)^{(2 - N)/2} e^{b N \rho} J_{N/2-1}( \mathrm{i} a N \rho).$

— SomeEE
ソース

ありがとうございました！同意する前に詳細を確認する必要があります。

— カラカル2014

\hat{r_{true}^{2}} \sim Hoyt

$\widehat{r^{2}_{\text{true}}} \sim \text{Hoyt}$ 、および？次に、特性関数は、ここで説明する2つの特性関数の積です。それは確かに私の質問に答えます。適切に変換して、その分布がアクセスせずにわかるようにする方法を知っていますか？マハラノビス距離、または一変量統計のように？

| | \bar{x} - μ | |^{2} \sim N (0, \frac{1}{N} Σ)

$||\bar{x}-\mu||^{2} \sim \mathcal{N}(0, \frac{1}{N}\Sigma)$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^{2}}$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^{2}}$

Σ

$\Sigma$

t

$t$

— カラカル14

完全な回答に対する私の回答を編集しました。同意する場合はお知らせください。

— SomeEE 2014

不明なについてはわかりません。明白なことは、をマハラノビス距離の合計のように見えるサンプル共分散で「除算」しようとすることです。つまり、。残念ながら、この合計は常にです。

Σ

$\Sigma$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^2}$

S

$S$

\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} S^{- 1} (x_{i} - \bar{x})

$\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T S^{-1}(x_i-\overline{x})$

1

$1$

— SomeEE 2014

引き続き回答に取り組んでいただきありがとうございます。の分布がません。これを分析的に処理することはできませんが、クイックシミュレーションでは、は異なる分布が得られます。Rシミュレーションコード。パラメーター化を正しく理解していない可能性もありますが。

| | x_{i} - μ | |^{2}

$||x_{i}-\mu||^{2}$

r^{2}

$r^{2}$

Γ (q, \frac{ω}{q})

$\Gamma(q, \frac{\omega}{q})$

Γ

$\Gamma$

— カラカル14