サンプル平均が与えられたサンプル中央値の期待値

ましょう中央値を表すとletサイズのランダムサンプルの平均を表しである分布から。を計算するにはどうすればよいですか？ˉ X N = 2 のk + 1 N （μ 、σ 2）E （Y | ˉ X = ˉ X$Y$$\bar{X}$$n=2k+1$$N(\mu,\sigma^2)$$E(Y|\bar{X}=\bar{x})$

直観的には、正規性の仮定のため、と主張するのは理にかなっています。しかし、それを厳密に示すことはできますか？$E(Y|\bar{X}=\bar{x})=\bar{x}$

私の最初の考えは、一般に既知の結果である条件付き正規分布を使用してこの問題にアプローチすることでした。問題は、期待値と中央値の分散がわからないため、次統計量を使用してそれらを計算する必要があるということです。しかし、それは非常に複雑で、絶対に必要な場合を除き、私はそこに行きたくありません。 $k+1$

ましょ示す元のサンプル及びZは、エントリのランダムベクトルZのK = X K - ˉ Xを。次に、Zは通常の中心になります（ただし、その合計は完全な確率でゼロであるという事実からわかるように、そのエントリは独立ではありません）。線形機能としてX、ベクトル（Z 、ˉ Xは）ことを示すために、したがって、その共分散行列で十分の計算正常でZは無関係であるˉ X。$X$$Z$$Z_k=X_k-\bar X$$Z$$X$$(Z,\bar X)$$Z$$\bar X$

参照する、一つはその見Y = ˉ X + T Tは中央値であるZ。具体的には、Tは、に依存Zだけ従ってTは無関係であるˉ X、及び分布Zは、したがって対称的であるTが中心に置かれます。$Y$$Y=\bar X+T$$T$$Z$$T$$Z$$T$$\bar X$$Z$$T$

最後に、

$$E(Y\mid\bar X)=\bar X+E(T\mid\bar X)=\bar X+E(T)=\bar X.$$

サンプルの中央値は次数統計であり、非正規分布を持っているため、サンプルの中央値とサンプルの平均の有限サンプル分布（これは正規分布を持っています）は二変量正規分布ではありません。近似に頼ると、漸近的に次のことが成り立ちます（こちらの私の答えをご覧ください）：

$$\sqrt n\Big [\left (\begin{matrix} \bar X_n \\ Y_n \end{matrix}\right) - \left (\begin{matrix} \mu \\ \mathbb v \end{matrix}\right)\Big ] \rightarrow_{\mathbf L}\; N\Big [\left (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right) , \Sigma \Big]$$

と

$$\Sigma = \left (\begin{matrix} \sigma^2 & E\left( |X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1} \\ E\left(|X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1} & \left[2f(\mathbb v)\right]^{-2} \end{matrix}\right)$$

where $\bar X_n$ is the sample mean and $\mu$ the population mean, $Y_n$ is the sample median and $\mathbb v$ the population median, $f()$ is the probability density of the random variables involved and $\sigma^2$ is the variance.

So approximately for large samples, their joint distribution is bivariate normal, so we have that

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \rho\frac {\sigma_{\mathbb v}}{\sigma_{\bar X}}(\bar x -\mu)$$

where $\rho$ is the correlation coefficient.

Manipulating the asymptotic distribution to become the approximate large-sample joint distribution of sample mean and sample median (and not of the standardized quantities), we have

$$\rho = \frac {\frac 1nE\left(|X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1}}{\frac 1n \sigma \left[2f(\mathbb v)\right]^{-1}} = \frac {E\left(|X-\mathbb v|\right)}{\sigma }$$

So

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \frac {E\left(|X-\mathbb v|\right)}{\sigma }\frac {\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1}}{\sigma}(\bar x -\mu)$$

We have that $2f(\mathbb v) = 2/\sigma\sqrt{2\pi}$ due to the symmetry of the normal density so we arrive at

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \sqrt{\frac {\pi}{2}}E\left(\left|\frac {X-\mu}{\sigma}\right|\right)(\bar x -\mu)$$

where we have used $\mathbb v = \mu$. Now the standardized variable is a standard normal, so its absolute value is a half-normal distribution with expected value equal to $\sqrt{2/\pi}$ (since the underlying variance is unity). So

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \sqrt{\frac {\pi}{2}}\sqrt{\frac {2}{\pi}}(\bar x -\mu) = \mathbb v + \bar x -\mu = \bar x$$

The answer is $\bar{x}$.

Let $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ have a multivariate distribution $F$ for which all the marginals are symmetric about a common value $\mu$. (It does not matter whether they are independent or even are identically distributed.) Define $\bar{x}$ to be the arithmetic mean of the $x_i,$ $\bar{x} = (x_1+x_2+\cdots+x_n)/n$ and write $x-\bar{x} = (x_1-\bar{x}, x_2-\bar{x}, \ldots, x_n-\bar{x})$ for the vector of residuals. The symmetry assumption on $F$ implies the distribution of $x - \bar{x}$ is symmetric about $0$; that is, when $E\subset\mathbb{R}^n$ is any event,

$${\Pr}_F(x - \bar{x}\in E) = {\Pr}_F(x - \bar{x}\in -E).$$

Applying the generalized result at /stats//a/83887 shows that the median of $x-\bar{x}$ has a symmetric distribution about $0$. Assuming its expectation exists (which is certainly the case when the marginal distributions of the $x_i$ are Normal), that expectation has to be $0$ (because the symmetry implies it equals its own negative).

Now since subtracting the same value $\bar{x}$ from each of a set of values does not change their order, $Y$ (the median of the $x_i$) equals $\bar{x}$ plus the median of $x-\bar{x}$. Consequently its expectation conditional on $\bar{x}$ equals the expectation of $x-\bar{x}$ conditional on $\bar{x}$, plus $E(\bar{x}\ |\ \bar{x})$. The latter obviously is $\bar{x}$ whereas the former is $0$ because the unconditional expectation is $0$. Their sum is $\bar{x},$ QED.

これは、上記の答えよりも簡単です。サンプル平均は完全で十分な統計です（分散がわかっているが、結果が分散に依存しないため、分散が不明な状況でも有効です）。次に、Rao-BlackwellとLehmann-Scheffeの定理（ウィキペディアを参照）は、算術平均が与えられた場合の中央値の条件付き期待値が、期待値の一意の最小分散不偏推定量であることを意味します$\mu$。しかし、それは算術平均であることがわかっているため、結果は次のようになります。

また、中央値が不偏推定量であることも使用しました。これは対称性に基づいています。