統計の代数幾何学

統計と機械学習における代数幾何学の使用について聞いたことがあります。このトピックについて少し学びたいと思いました。私は代数幾何学についてほとんど何も知りませんが、私には数学のバックグラウンドがあり、基本的な群論、環場、およびいくつかの可換代数について知っています。私の質問は：

1. Stats / MLのアプリケーションに関連する、私が学ぶべきアルジェブリアック幾何学の概念とは何ですか（代数幾何学のコースと本で通常教えられているものの一部のみが役立つと思います）。

2. 私のバックグラウンドを持つ人にいくつかの本/紹介論文を推薦できますか？AGの標準的な教科書ではなく、アプリケーションで使用される概念に焦点を当てたものです。

標準のリファレンスのリストは次のとおりです。

• Drton、Sturmfels、and Sullivant、Lectures on Algebraic Statistics
• Pachter、Sturmfels、計算生物学のための代数統計
• Pistone、Riccomagno、Wynn、代数統計：統計における計算可換代数
• サリバント、代数統計
• Zwiernik、半代数統計、および潜在ツリーモデル
• Riccomagno、代数統計の短い歴史

これは代数統計に直接対処するのではなく、関連する参考文献のリストですが、主題に使用される方法論の背景を提供します。

• Lauritzen、グラフィカルモデル
• Lauritzen、具象抽象代数
• 真珠、因果関係：モデル、推論、および推論
• Cox、Little、O'Shea、理想、多様性、およびアルゴリズム：計算代数幾何学および可換代数の紹介
• Garrity、Belshoff、Boosなど、代数幾何学：問題解決アプローチ
• Sturmfels、多項式方程式の解法
• Uhler、グラフィカルモデルにおける最尤推定のジオメトリ

過去と現在のトピックに関するコースのWebページ：

• バークレーでのシュトゥルムフェルス教授のコース
• TUベルリンでのコース
• ベルリンのフレイエ大学でのセミナー
• ジェノア大学での会議
• バークレー代数統計セミナー

これらのリストは、ほぼ確実に包括的なものではありません。

• 渡辺澄男、代数幾何学および統計学習理論、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、イギリス、2009年。

確かに影響力のあるこの本は、統計学習理論における代数幾何学の使用の基礎を築きます。情報科学に適用される多くの広く使用されている統計モデルと学習マシンには、特異なパラメーター空間があります。混合モデル、ニューラルネットワーク、HMM、ベイジアンネットワーク、確率的文脈自由文法が主な例です。代数幾何学と特異点理論は、そのような滑らかでないモデルを研究するために必要なツールを提供します。4つの主要な公式が確立されています。

1. 対数尤度関数には、特異性の解決を使用して共通の標準形式を与えることができ、より複雑なモデルにも適用できます。

2. 周辺尤度または「証拠」の漸近挙動は、ゼータ関数理論に基づいて導出されます。

3. トレーニングエラーからベイズおよびギブス推定の一般化エラーを推定するための新しい方法が導出されます。

4. 最尤法と事後法の一般化誤差は、代数多様体の経験的プロセス理論によって明らかになります。