制約付きのランダムベクトルの生成

次の制約を満たす実数a_iのランダムベクトルを作成する必要があります。

abs(a_i) < c_i;      
sum(a_i)< A;        # sum of elements smaller than A
sum(b_i * a_i) < B; # weighted sum is smaller than B 
aT*A*a < D          # quadratic multiplication with A smaller than D

where c_i, b_i, A, B, D are constants.

この種のベクトルを効率的に生成するための典型的なアルゴリズムは何でしょうか？

私があなたを正しく理解していれば、n次元空間の一部の小さなボリュームの点だけが制約を満たします。

最初の制約は、それを超球の内部に制約します。これは、comp.graphics.algorithms FAQ 「球上の均一なランダムポイント」と3次元のユニットボールに均一に分布したポイントを生成する方法を思い出させます。 2番目の制約は超球から少し切り出して、他の制約は制約を満たすボリュームでさらに削り取ります。

私がする最も簡単なことはFAQによって提案されたアプローチの1つだと思います：

• ボリューム全体が確実に含まれる、任意の軸に沿った境界ボックスを選択します。この場合、-c <a_1 <c、-c <a_2 <c、... -c <a_n <cには、最初の制約によって記述された超球体が含まれているため、制約されたボリューム全体が含まれ、他の制約はウィットリングを続けますそのボリュームで離れて。
• アルゴリズムは、バウンディングボックス全体で均一にポイントを選択します。この場合、アルゴリズムは、候補ベクトルの各座標を、-cから+ cまでのいくつかの独立した均一に分布した乱数に個別に設定します。（このボリューム全体に等しい密度で分布する点が必要だと想定しています。何らかの理由でポアソン分布またはその他の不均一な分布を持つ一部またはすべての座標をアルゴリズムで選択できると思います）。
• 候補ベクトルを作成したら、各制約を確認します。いずれかに失敗した場合は、戻って別のポイントを選択してください。
• 候補ベクトルを取得したら、後で使用できるようにどこかに保存します。
• 保存されているベクターが十分にない場合は、戻って別のベクターを生成してみてください。

十分に高品質の乱数ジェネレーターを使用すると、（期待される）均一な密度で基準を満たす格納された座標のセットが得られます。

悲しいかな、あなたが比較的高い次元数nを持つ場合（つまり、比較的長い座標のリストから各ベクトルを構築する場合）、内接する球体（削り取られたボリュームがはるかに少ない）の合計ボリュームの驚くほど小さい部分があります。合計バウンディングボックス。多くの反復を実行する必要がある場合があります。ほとんどの反復は、制約された領域の内側のポイントを見つける前に、制約された領域の外側に拒否されたポイントを生成します。最近のコンピュータはかなり高速なので、それで十分でしょうか？