フィッシャー分布のフーリエ変換の反転

フィッシャー 分布の特性関数は次のとおりです ここでは、コンフルエントな超幾何関数です。n畳み込みの逆フーリエ変換\ mathcal {F} _ {t、x} ^ {-1}を解いて、変数xの密度を復元しようとしています。つまり、 \ mathcal {F} _ {t 、x} ^ {-1} \ left（C（t）^ n \ right）n の合計の分布を取得する目的でC （t ）= Γ （α + $\mathcal{F}(1,\alpha)$

$$C(t)=\frac{\Gamma \left(\frac{\alpha +1}{2}\right) U\left(\frac{1}{2},1-\frac{\alpha }{2},-i t \alpha \right)}{\Gamma \left(\frac{\alpha }{2}\right)}$$ $U$ n x F − 1 t 、x（ C （t ）n ）$\mathcal {F} _ {t,x}^{-1}$$n$$x$ $$\mathcal {F} _ {t,x}^{-1} \left(C(t)^n\right)$$ $n$フィッシャー分布のランダム変数。解決するのは非常に難しいと思われるので、誰かが何かアイデアを持っているのだろうか。$\alpha=3$とn = 2の値を試してみ$n=2$ましたが、役に立ちませんでした。注：畳み込みによる$n=2$の場合、平均のpdfを取得します（合計ではありません）：

$$\frac{3 \left(12 \left(x^2+3\right) \left(5 x^2-3\right) x^2+9 \left(20 x^4+27 x^2+9\right) \log \left(\frac{4 x^2}{3}+1\right)+2 \sqrt{3} \left(x^2+15\right) \left(4 x^2+3\right) x^3 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{\sqrt{3}}\right)\right)}{\pi ^2 x^3 \left(x^2+3\right)^3 \left(4 x^2+3\right)}$$ 、

ここで、$x$は2つの変数の平均です。私はそれが扱いにくいことを知っていますが、流域分布の近似のアイデアを得たいと思います。

F統計の畳み込みには閉じた形の密度はないため、特性関数を分析的に逆にしようとしても、有用な結果が得られるとは限りません。

数学的統計では、傾斜エッジワース展開（サドルポイント近似とも呼ばれます）は、特性関数が与えられた密度関数を近似するための有名でよく使用される手法です。しばしば非常に正確な場合、サドルポイント近似。Ole Barndorff-NielsenとDavid Coxは、この数学的手法を説明する教科書を書きました。

特性関数を使用せずに問題にアプローチする他の方法があります。たたみ込み分布は、形状がF分布のようなものになると予想されます。一つは、のように近似してみてください可能性がある用 -convolutionをした後、選択と正しい分布の最初の二つの瞬間を作るために。これは、F分布の既知の平均と分散を考えると簡単です。$aF(n,k)$$n$$a$$k$

が大きい場合、畳み込みは自由度のカイ二乗分布に収束します。これは、上記の近似でおよびを選択ことと同等であり、単純な近似が大きなに対して正確であることを示しています。$\alpha$$n$$a=n$$k=\infty$$\alpha$