2つのランダム変数のうち小さい方の不偏推定量

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仮定 $X \sim \mathcal{N}(\mu_x, \sigma^2_x)$ と $Y \sim \mathcal{N}(\mu_y, \sigma^2_y)$

$z = \min(\mu_x, \mu_y)$ $z$

単純な推定量とサンプル手段である及び（一貫性のあるが）、例えば、付勢されています。をアンダーシュートする傾向があります。 $\min(\bar{x}, \bar{y})$ $\bar{x}$ $\bar{y}$ $X$ $Y$ $z$

不偏推定量を考えることはできません。存在しますか？ $z$

助けてくれてありがとう。

random-variable unbiased-estimator minimum

— パザム
ソース

8

これはほんの数個のコメントであり、回答ではありません（十分な担当者がいません）。

（1）。単純な推定器のバイアスのための明示的な式が存在するここで： $min(\bar{x},\bar{y})$

1961年3月、CE、クラークランダム変数の有限セットの最大のもの。Operations Research 9（2）：145–162。

しかし、これがどのように役立つかわからない

（2）。これは単なる直観にすぎませんが、そのような推定量は存在しないと思います。そのような推定がある場合、それはまた場合、公正であるべきである。したがって、推定器を2つのサンプル平均の加重平均よりも小さくする「ダウングレード」は、この場合、推定器にバイアスをかけます。 $\mu_x=\mu_y=\mu$

— またはズク
ソース

1

おそらく、この場合の修正は平均ゼロになる可能性があります。

— 枢機

ただし、明確にするために、偏りのない推定量があるとは考えていません。実際、そうではない可能性が高いことに同意します。

— 枢機inal

1

はい、同意します-これは単なる直観です。次の論文は、単変量ガウス平均の関数の不偏推定量の存在条件を示しています-多変量に拡張することができます： stat.ncsu.edu/library/mimeo.archive/ISMS_1988_1929.pdf

— またはZuk

バイアスを知ることが役立つ場合は、バイアスを修正して、不偏の推定量を取得できます。私は実際にこのルートをたどりましたが、正確なバイアスを計算するには

と

が必要です-ありません。当然、私は代わりにサンプル平均を使用して、何が起こるかを確認しようとしました。役に立たないようです。シミュレーションでは、修正された推定量もバイアスを示します。私は、存在しない偏りのない推定量に傾いていますが、それに対する良い証拠を思いつきませんでした。

u_{x}

$u_x$

u_{y}

$u_y$

— パザム

5

$\mu_x=\mu_y$

$T(X,Y)$ $E_{\mu_x,\mu_y}[T(X,Y)]=\min\{\mu_x,\mu_y\}$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\mu_x=\mu_y$ 、矛盾につながります。

平野とポーターは、近々発表される計量経済学の論文で一般的な証拠を持っています（提案1を参照）。ワーキングペーパーのバージョンは次のとおりです。

http://www.u.arizona.edu/~hirano/papers/hp4_2011_11_03.pdf

— user8817
ソース

非常に素晴らしい！この質問をフォローアップしていただきありがとうございます。

— whuber

1

サンプルが与えられた一連の数値の最小（または最大）の推定量があります。Laurens de Haan、「順序統計を使用した関数の最小値の推定」、JASM、76（374）、1981年6月、467-469を参照してください。

— ヤン・ガルコウスキ
ソース

残念ながら、あなたが引用した論文がこの問題に対処しているとは思わない。この論文では、非確率変数Aのセットがあり、サンプリングを通じてAの最小要素を見つける場合を扱います。この問題の文脈では、Aの各要素はランダム変数であり、その中にキッカーがあります。Aの最小確率変数の平均の不偏推定量を見つける必要があります

— 。-パザム

0

偏りのない推定量は存在しないと確信しています。しかし、偏りのない推定量はほとんどの量に対して存在せず、そもそも偏りがないことは特に望ましい特性ではありません。なぜここに欲しいのですか？

Y

$Y$

Y

$Y$