通常のサンプルからの最小次数統計の期待値

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2014年1月25日更新： 間違いは修正されました。アップロードされた画像の期待値の計算値は無視してください-これらは間違っています-この質問に対する回答が生成されたため、画像は削除しません。

2014年1月10日更新： 間違いが見つかりました-使用されたソースの1つにある数学のタイプミス。修正を準備しています...

コレクションから最小の順序統計の密度 CDFと連続確率変数をIID とPDF であり、 $n$ $F_X(x)$ $f_X(x)$

f_{X_{(1)}} (x_{(1)}) = n f_{X} (x_{(1)}) {[1 - F_{X} (x_{(1)})]}^{n - 1} [1]

$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = nf_X(x_{(1)})\left[1-F_X(x_{(1)})\right]^{n-1} \qquad [1]$

これらの確率変数が標準正規である場合、

とその期待値であるので、

f_{X_{(1)}} (x_{(1)}) = n ϕ (x_{(1)}) {[1 - Φ (x_{(1)})]}^{n - 1} = n ϕ (x_{(1)}) {[Φ (- x_{(1)})]}^{n - 1} [2]

$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = n\phi(x_{(1)})\left[1-\Phi(x_{(1)})\right]^{n-1} = n\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}\qquad [2]$

E (X_{(1)}) = n \int_{- \infty}^{\infty} x_{(1)} ϕ (x_{(1)}) {[Φ (- x_{(1)})]}^{n - 1} d x_{(1)} [3]

$E\left(X_{(1)}\right) = n\int_{-\infty}^{\infty}x_{(1)}\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}dx_{(1)}\qquad [3]$

\int_{- \infty}^{\infty} z ϕ (z) {[Φ (a z)]}^{m} d z = \frac{a m}{(\sqrt{a^{2} + 1}) (\sqrt{2 π})} \int_{- \infty}^{\infty} ϕ (z) {[Φ (\frac{a z}{\sqrt{a^{2} + 1}})]}^{m - 1} d z [4]

$\int_{-\infty}^{\infty}z\phi(z)\left[\Phi(az)\right]^m dz= \frac {am}{(\sqrt {a^2+1})(\sqrt {2\pi})}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(z)\left[\Phi\left(\frac {az}{\sqrt {a^2+1}}\right)\right]^{m-1}dz\qquad [4]$

eqs間のパラメーターのマッチング $[3]$ $[4]$ $a=-1$ $m=n-1$

E (X_{(1)}) = - \frac{n (n - 1)}{2 \sqrt{π}} \int_{- \infty}^{\infty} ϕ (x_{(1)}) {[Φ (\frac{- x_{(1)}}{\sqrt{2}})]}^{n - 2} d x_{(1)} [5]

$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x_{(1)})\left[\Phi\left(\frac {-x_{(1)}}{\sqrt 2}\right)\right]^{n-2}dx_{(1)}\qquad [5]$

再びオーウェン1980、p。409、eq [ n0,010.2 ]は、

\int_{- \infty}^{\infty} [\prod_{i = 1}^{m} Φ (\frac{h_{i} - d_{i} z}{\sqrt{1 - d_{i}^{2}}})] ϕ (z) d z = Z_{m} (h_{1}, . . ., h_{m}; {ρ_{i j}}) [6]

$\int_{-\infty}^{\infty}\left[\prod_{i=1}^{m}\Phi\left(\frac{h_i-d_iz}{\sqrt {1-d_i^2}}\right)\right] \phi(z)dz= \mathcal Z_m(h_1,...,h_m;\{\rho_{ij}\})\qquad [6]$

$\mathcal Z_m()$ $\rho_{ij}=d_id_j,\; i\neq j$ $-1\le d_i\le 1$

$[5]$ $[6]$ $m=n-2$ $h_i=0,\;\forall i$

\frac{d_{i}}{\sqrt{1 - d_{i}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow d_{i} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \forall i \Rightarrow ρ_{i j} = ρ = 1 / 3

$\frac{d_i}{\sqrt {1-d_i^2}} = \frac 1{\sqrt 2} \Rightarrow d_i = \pm \frac 1{\sqrt 3} \forall i \Rightarrow \rho_{ij} = \rho = 1/3$

$[5]$

E (X_{(1)}) = - \frac{n (n - 1)}{2 \sqrt{π}} Z_{n - 2} (0, . . ., 0; ρ = 1 / 3) [7]

$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)\qquad [7]$

すべてがゼロで評価される、等相関変数のこの多変量標準正規確率積分では、十分な調査が行われており、それを近似および計算するさまざまな方法が導出されています。（一般的に多変量正規確率積分の計算に関連する）広範なレビューはGupta（1963）です。Guptaは、さまざまな相関係数と最大12の変数の明示的な値を提供します（14変数のコレクションをカバーします）。結果は次のとおりです（最後の列が間違っています）：

ここに画像の説明を入力してください

$\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)$ $n$

ここに画像の説明を入力してください

$[7]$

2）アプローチが正しいと仮定すると、誰かが非ゼロ平均と非ユニタリ分散を持つ法線の解を与えることができますか？すべての変化で私は本当にめまいを感じています。

$n$

normal-distribution expected-value order-statistics minimum

— アレコスパパドプロス
ソース

回答:

6

$E[X_{(1)}]$ $n$ $n$

問題は概念的には非常に簡単です。

$X$ $N(0,1)$ $f(x)$

$n$

... サポートのドメインを使用して、のOrderStat関数を使用してここで取得mathStatica：

$E[X_{(1)}]$ $n = 1,2,3$

$n = 3$ $-0.846284$

$n \ge 4$ $E[X_{(1)}]$ $n = 1$

 sol = Table[NIntegrate[x g, {x, -Infinity, Infinity}], {n, 1, 14}]

{0.、-0.56419、-0.846284、-1.02938、-1.16296、-1.26721、-1.35218、-1.4236、-1.48501、-1.53875、-1.58644、-1.62923、-1.66799、-1.70338}

すべて完了。これらの値は明らかに、表（右側の列）の値とは大きく異なります。

$N(\mu, \sigma^2)$

— 狼
ソース

n

$n$

4

$4$

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