2つの一様分布の結合分布と周辺分布の計算に関する問題

我々は、ランダムな変数があるととして配布およびとして配布、間隔で一様分布を意味する。 $X_1$ $U[0,1]$ $X_2$ $U[0,X_1]$ $U[a,b]$ $[a,b]$

Iは、関節PDFを計算することができたとの限界PDF。 $(X_1,X_2)$ $X_1$

p (x_{1}, x_{2}) = \frac{1}{x_{1}}, for 0 \leq x_{1} \leq 1, 0 \leq x_{2} \leq x_{1},

$p(x_1,x_2) = \frac{1}{x_1}, \text{ for }\quad 0\le x_1\le 1, \quad 0\le x_2 \le x_1,$

p (x_{1}) = 1, for 0 \leq x_{1} \leq 1.

$p(x_1)= 1, \text{ for } \quad 0\le x_1\le 1.$

ただし、限界PDFを計算しているときに、制限の問題が発生しています。限界を介した積分の結果はで、制限は0〜1です。はに対して定義されていないため、困難に直面しています。 $X_2$ $X_2$ $\log(X_1)$ $\log(X_1)$ $X_1=0$

私はどこかに間違っていますか？ありがとう。

pdf marginal joint-distribution

— アンドレ・シルバ
ソース

たまたま、X2がU [0、X1]として配布されることを意味しますか？

— SheldonCooper、2011

SheldonCopper：その通りです。変更します。

限界の制限場合を除いて0から1へない。

X_{2}

$X_2$

X_{2} = 0

$X_2 = 0$

— whuber

ありがとうwhuber。あなたは正しいです。したがって、X1 = X2からX1 = 1として、限界密度をX2の限界密度に置き換える必要があります。

回答:

「周辺化」積分では、下限はなく（条件のため）。 $x_1$ $0$ $x_2$ $0<x_2<x_1$

したがって、積分は次のようになります。

p （ {バツ}_{2} ） = \int p （ {バツ}_{1} 、 {バツ}_{2} ） d {バツ}_{1} = \int \frac{私 （ 0 \leq {バツ}_{2} \leq {バツ}_{1} \leq 1 ）}{{バツ}_{1}} d {バツ}_{1} = \int_{{バツ}_{2}}^{1} \frac{d {バツ}_{1}}{{バツ}_{1}} = l o g （ \frac{1}{{バツ}_{2}} ）

$p(x_2)=\int p(x_1,x_2) dx_1=\int \frac{I(0\leq x_2\leq x_1\leq 1)}{x_1} dx_1=\int_{x_2}^{1} \frac{dx_1}{x_1}=log\big(\frac{1}{x_2}\big)$

あなたは偶然、偶然に遭遇しました。私が統計積分の最も難しい部分の1つであると私が思うのは、積分の限界を決定することです。

注：これはヘンリーの答えと一致しています。私のものはPDFで、彼はCDFです。彼の答えを区別することはあなたに私のものを与えます、それは私たちが正しいことを示しています。

— 確率論的
ソース

ええ、私はあなたが答えを与える前にそれを理解しました:) ...ありがとう。

これは私が見つけたものです

\log (1 / x_{2}) = - \log (x_{2})

$\log (1/x_2) = - \log (x_2)$

— Henry

周辺分布にがあってはなりません $X_1$ $X_2$

私はあなたが得ることを期待するおよび誘導体はの限界密度与えて。 $P(X_2 \le x_2) = x_2 (1-\log(x_2))$ $-\log(x_2)$

これはから来るであれば、及び $P(X_2 \le x_2 |X_1=x_1) = 1$ $x_1 \le x_2$ であれば積分であるので、 $P(X_2 \le x_2 |X_1=x_1) = \frac{x_2}{x_1}$ $x_2 \le x_1$

P （ {バツ}_{2} \leq {バツ}_{2} ） = \int_{{バツ}_{1} = 0}^{{バツ}_{2}} d {バツ}_{1} + \int_{{バツ}_{1} = {バツ}_{2}}^{1} \frac{{バツ}_{2}}{{バツ}_{1}} d {バツ}_{1}

$P(X_2 \le x_2) = \int_{x_1=0}^{x_2} dx_1 + \int_{x_1=x_2}^{1} \frac{x_2}{x_1} dx_1$

= {[{バツ}_{1}]}_{{バツ}_{1} = 0}^{{バツ}_{1} = {バツ}_{2}} + {[{バツ}_{2} ログ （ {バツ}_{1} ）]}_{{バツ}_{1} = {バツ}_{2}}^{{バツ}_{1} = 1}

$= \left[ x_1 \right]_{x_1=0}^{x_1=x_2} + \left[x_2 \log(x_1)\right]_{x_1=x_2}^{x_1=1}$

= {バツ}_{2} - 0 + {バツ}_{2} ログ （ 1 ） - {バツ}_{2} ログ （ {バツ}_{2} ）

$= x_2 - 0 +x_2 \log(1) - x_2 \log(x_2)$

= {バツ}_{2} （ 1 - ログ （ {バツ}_{2} ） ）

$= x_2 (1-\log(x_2))$

— ヘンリー
ソース

ヘンリー：log（X1）は、X2の限界を積分した後（ただし、制限を置き換える前）です。あなたのP（X2）は間違っています。統合後に取得したlog（X1）を統合していると思います。

P (X_{2} \leq x_{2}) = x_{2} (1 - \log (x_{2}))

$P(X_2 \le x_2) = x_2 (1-\log(x_2))$

0 < x_{2} < 1

$0 < x_2 < 1$

P (X_{2})

$P(X_2)$

P（X2）= int（1 / X1）。

l n (X_{1})

$ln(X_1)$

X_{1} \leq 1

$X_1 \le 1$

\ln (x_{1}) \leq 0

$\ln(x_1) \le 0$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$