複数の期間を含む差異モデルの差異の指定

2つの期間の差モデルの差を推定すると、同等の回帰モデルは次のようになります。

a。 $Y_{ist} = \alpha +\gamma_s*Treatment + \lambda d_t + \delta*(Treatment*d_t)+ \epsilon_{ist}$

• ここで、$Treatment$はダミーであり、観測が治療グループからのものである場合は1に等しい
• および $d$、治療後の期間内に1に等しいダミーで発生しました

したがって、方程式は次の値を取ります。

• 対照群、治療前：$\alpha$
• 対照群、治療後：$\alpha +\lambda$
• 治療群、治療前：$\alpha +\gamma$
• 治療後の治療群： $\alpha+ \gamma+ \lambda+ \delta$

したがって、2期間モデルでは、差の推定値の差は$\delta$です。

しかし、治療前と治療後の期間が複数ある場合、に関してどうなりますか？治療の前後が1年かどうかを示すダミーを引き続き使用しますか？$d_t$

または、各年が前処理期間に属するか後処理期間に属するかを指定せずに、代わりに年ダミーを追加しますか？このような：

b。$Y_{ist} = \alpha +\gamma_s*Treatment + yeardummy + \delta*(Treatment*d_t)+ \epsilon_{ist}$

または私は（すなわち、両方含むことができ、）？$yeardummy +\lambda d_t$

c。$Y_{ist} = \alpha +\gamma_s*Treatment + yeardummy + \lambda d_t + \delta*(Treatment*d_t)+ \epsilon_{ist}$

結論として、複数の期間（a、b、またはc）を持つ差分モデルの違いを指定するにはどうすればよいですか？

3つ以上の期間を使用した差異モデルの差異を推定する一般的な方法は、提案されたソリューションb）です。あなたは退行でしょう、あなたの表記を維持 D T ≡ トリートメントS ⋅ D tはダミー変数であります治療単位sの 1に等しい

$$Y_{ist} = \alpha +\gamma_s (\text{Treatment}_s) + \lambda (\text{year dummy}_t) + \delta D_{st} + \epsilon_{ist}$$ $D_t \equiv \text{Treatment}_s\cdot d_t$$s$後処理期間（$d_t = 1$）で、それ以外の場合はゼロです。これは、差の回帰のより一般的な定式化であり、異なる処理ユニットの異なるタイミングの処理を可能にすることに注意してください。

コメントで正しく指摘されたように、提案された解決策c）は、時間ダミーと後処理期間のダミーとの共線性のためにうまくいきません。ただし、これのわずかな変形は、堅牢性チェックであることが判明しました。ましょうとγ S 1は、各制御ユニットのためのダミー変数の二組であり、S 0と各処理されたユニットS 1、時間変数を用いて処理ユニットのダミー相互作用、それぞれ、T及び退縮 Y 、I 、S 、T = γをS 0 + γ S 1$\gamma_{s0}$$\gamma_{s1}$$s0$$s1$$t$ 単位特定の時間トレンド含む γ S 1 Tを。これらのユニット固有の時間トレンドを含め、差の係数 δが大きく変化しない場合、結果に自信を持つことができます。そうしないと、基礎となる時間の傾向により、治療効果が治療ユニット間の差異を吸収したのではないかと思うかもしれません（ポリシーが異なる時点で有効になると発生する可能性があります）。

$$Y_{ist} = \gamma_{s0} + \gamma_{s1}t + \lambda (\text{year dummy}_t) + \delta D_{st} + \epsilon_{ist}$$ $\gamma_{s1}t$$\delta$

Angrist and Pischke（2009）Mostly Harmless Econometricsに引用されている例は、Besley and Burgess（2004）による労働市場政策研究です。彼らの論文では、州固有の時間傾向を含めると、推定される治療効果が失われることがあります。ただし、この堅牢性チェックには3つ以上の期間が必要です。

私は何かを明確にしたいです（そして間接的にコメントで質問に対処します）。特に、ユニット固有の線形時間トレンドの使用に関するものです。堅牢性チェックとして、処理されたユニットに対してのみ相互作用しているダミー（つまり、$\gamma_{1s}$）連続的な時間トレンド。ただし、実際には、ユニット/状態ダミー（ユニット/状態固定効果）の完全なセットを線形時間トレンド変数と対話している場合です。

Angrist and Pischke（2009）は、Mostly Harmless Econometricsの 238ページでこのアプローチを推奨しています。表記法の違いは混乱を招く可能性があります。仕様5.2.7の再現：

$$y_{ist} = \gamma_{0s} + \gamma_{1s} t + \lambda_{t} + \delta D_{st} + X^{'}_{ist}\beta + \varepsilon_{ist},$$

where $\gamma_{0s}$ is a state-specific intercept, in accordance with the $s$ subscript used in their book. You can view $\gamma_{1s}$ as the state-specific trend coefficient multiplying the time trend variable, $t$. Different papers use different notation. For example, Wolfers (2006) replicates a model incorporating state-specific linear time trends. Reproducing model (1):

$$y_{s,t} = \sum_{s} State_{s} + \sum_{t} Year_{t} + \sum_{s} State_{s}*Time_{t} + \delta D_{s,t} + \varepsilon_{s,t},$$

where the model includes state and year fixed effects (i.e., dummies for each state and year). The treatment variable $D_{s,t}$ is when state $s$ adopts a unilateral divorce regime in period $t$. Notice this specification interacts state dummies with a linear time trend (i.e., $Time_{t}$). This is yet another representation of state-specific linear time trends in your model specification.

Unit-specific linear time trends is also addressed in another post (see below):

How to account for endogenous program placement?

In sum, you want to interact all unit (group) dummies with a continuous time trend variable.

Paper by Justin Wolfers is below for your reference:

https://users.nber.org/~jwolfers/papers/Divorce(AER).pdf