2つの相関するランダム変数をサンプリングするためのいくつかの手法は何ですか？

2つの相関するランダム変数をサンプリングするためのいくつかの手法は何ですか？

• 確率分布がパラメータ化されている場合（たとえば、対数正規）

• ノンパラメトリック分布がある場合。

データは、非ゼロの相関係数を計算できる2つの時系列です。履歴相関と時系列CDFが一定であると仮定して、将来これらのデータをシミュレートしたいと考えています。

ケース（2）の場合、1-DアナログはCDFを構築し、そこからサンプルを作成します。だから、2-D CDFを作成して同じことをすることができたと思います。ただし、個々の1-D CDFを使用し、ピックを何らかの方法でリンクすることで、近づく方法はないのでしょうか。

ありがとう！

探しているのはコピュラだと思います。2つの周辺分布（パラメーターcdfまたは経験的cdfで指定）があり、2つの間の依存関係を指定します。二変量の場合、すべての種類の選択肢がありますが、基本的なレシピは同じです。解釈を簡単にするために、ガウスコピュラを使用します。

相関行列Cでガウスコピュラから描画するには$C$

1. ドロー$(Z=(Z_1, Z_2)\sim N(0, C)$

2. セットするために、私は= 1 、2（とΦ標準正規累積分布関数）。今U 1、U 2〜U [ 0 、1 ]が、彼らは依存しています。$U_i = \Phi(Z_i)$$i=1, 2$$\Phi$$U_1, U_2\sim U[0,1]$

3. 集合ここで、F - 1は iが変数に対する限界CDFの（疑似）逆であるI。これは、Y iが目的の分布に従うことを意味します（このステップは単なる逆変換サンプリングです）。$Y_i = F_i^{-1}(U_i)$$F_i^{-1}$$i$$Y_i$

出来上がり！いくつかの単純なケースで試してみて、限界ヒストグラムと散布図を見てください。楽しいです。

ただし、これが特定のアプリケーションに適していることを保証するものではありません（特に、ガウスコピュラをatコピュラに置き換える必要がある場合があります）が、これを開始する必要があります。コピュラモデリングに関する参考資料は、Nelsen（1999）、An Introduction to Copulasですが、オンラインでもかなり良い紹介があります。

$X_1 \sim Y+Z$$X_2 \sim W+Z$$Z$$U$$(1-U)$

3番目の一般的な方法は、（NORTA）NORmal To Anythingです。相関正規変量を生成し、それぞれの累積分布関数を評価してそれらを均一なランダム変量にし、これらの「新しい」均一なランダム変量を、新しい分布から描画を生成する際のランダム性のソースとして使用します。

別の投稿で言及されているコピュラ（メソッドのクラス全体）アプローチに加えて、コピュラアプローチと精神的に類似している最大結合分布からサンプリングすることもできます。限界分布と最大結合からのサンプルを指定します。これは、Pierre Jacobがここで説明しているように、2つの受け入れ-拒否ステップによって実現されます。おそらく、この方法は2よりも高い次元に拡張できますが、達成するのがより複雑になる可能性があります。最大のカップリングは、周辺のパラメーターの値に依存する相関関係を誘発することに注意してください。私の質問に対する西安の答えのこの良い例については、この投稿を参照してください。

おおよその（ほとんどの場合）サンプルを受け入れる場合は、MCMC手法も多次元分布からサンプリングするオプションです。

また、アクセプトリジェクトメソッドを使用することもできますが、通常は、サンプリングする優勢な密度を見つけて、その密度と目的の密度の比率を評価することは困難です。

これは私が考えることができるすべての追加の方法ですが、おそらく私が見逃したカップルがあります。