コーシー分布と中心極限定理

CLTが保持されるためには、平均および有限分散を持つように近似したい分布が必要です。平均と分散が定義されていないコーシー分布の場合、中心極限定理は漸近的にも良い近似を提供できないと言うのは本当でしょうか？ $\mu$ $\sigma^2$

probability central-limit-theorem asymptotics cauchy

— JohnK
ソース

はい、失敗します。iid Cauchyの標本平均は、同じ広がりを持つCauchyになります。したがって、CLTのようにサンプル平均にルートを掛けると、素敵なガウス曲線ではなく、無限の広がりを持つ分布が得られます。

n

$n$

— マイケルM

コーシー分布からの iidサンプルの平均の分布は、の値に関係なく、元のコーシー分布と同じ分布（同じ中央値と四分位範囲を含む）になります。 $n$ $n$

したがって、中央極限定理に関連するガウス極限や分散の減少は得られません。

— ヘンリー
ソース

まあ、それ自体は変数ではなく、CLTに続く標準化された変数です。

— JohnK

@Ioannis：それは事実であり、コーシー分布を標準化して平均がで標準偏差がになるようにすることはできません。私の第二段落は、分散を有するガウス近似を示唆しているように、より中心極限定理の一般的な解釈を目的とした回オリジナル

0

$0$

1

$1$

1 / \sqrt{n}

$1/\sqrt{n}$

— ヘンリー