最尤推定量-信頼区間

そのパラメーターのMLEから始めて、実際のパラメーターの漸近信頼区間を構築するにはどうすればよいですか？

この問題に取り組む1つの方法は、デルタ方式を使用することです：en.wikipedia.org/wiki/Delta_method

私が広すぎるとして、この質問を閉じるための投票がある気づいたが、そこで簡潔に述べることができるMLEは漸近の行動に関する一般的な定理が。後で拡張するという簡潔な答えを入れました。

— Scortchi-モニカの回復

サイズ iidサンプルについて、いくつかの規則性条件が与えられた場合、MLEは真のパラメーターとその分布の漸近的正規分布の一貫した推定量であり、分散はフィッシャー情報： $n$ $\hat{\theta}$ $\theta_0$

\sqrt{n} (\hat{θ} - θ_{0}) \to N (0, \frac{1}{I_{1} (θ_{0})})

$\sqrt{n}\left(\hat{\theta}-\theta_0\right) \rightarrow \mathcal{N}\left(0,\frac{1}{\mathcal{I}_1(\theta_0)}\right)$ ここで、は単一のサンプルからのフィッシャー情報です。MLEで観測された情報は、予想される情報に漸近的になる傾向があるため、次のようにして信頼区間を（たとえば95％）計算できます。

I_{1} (θ_{0})

$\mathcal{I}_1(\theta_0)$

I (\hat{θ})

$I(\hat{\theta})$

\hat{θ} \pm \frac{1.96}{\sqrt{n I_{1} (\hat{θ})}}

$\hat{\theta} \pm \frac{1.96}{\sqrt{nI_1\left(\hat\theta\right)}}$

たとえば、がゼロ打ち切りポアソン変量である場合、MLEの観点から観測された情報の数式を取得できます（これは数値で計算する必要があります）： $X$

f (x) = \frac{e^{- θ} θ^{x}}{x! (1 - e^{- θ})}

$\newcommand{\e}{\mathrm{e}}\newcommand{\d}{\operatorname{d}}f(x) = \frac{\e^{-\theta}\theta^x}{x!(1-e^{-\theta})}$

ℓ (θ) = - θ + x \log θ - \log (1 - e^{- θ})

$\ell(\theta)=-\theta+ x\log\theta -\log(1-\e^{-\theta})$

\frac{d ℓ (θ)}{d θ} = - 1 + \frac{x}{θ} - \frac{e^{- θ}}{1 - e^{- θ}}

$\frac{\d\ell(\theta)}{\d\theta} = -1 +\frac{x}{\theta} - \frac{\e^{-\theta}}{1-\e^{-\theta}}$

I_{1} (\hat{θ}) = - \frac{d^{2} ℓ (\hat{θ})}{{(d \hat{θ})}^{2}} = \frac{x}{\hat{θ}} - \frac{e^{- \hat{θ}}}{{(1 - e^{- \hat{θ}})}^{2}}

$I_1\left(\hat{\theta}\right)=-\frac{\d^2\ell\left(\hat\theta\right)}{\left(\d\hat\theta\right)^2} = \frac{x}{\hat\theta} - \frac{\e^{-\hat\theta}}{\left(1-\e^{-\hat{\theta}}\right)^2}$

規則性条件によって除外された注目すべきケースには、

パラメータは、データのサポートを決定します。たとえば、naughtと間の一様分布からのサンプリング $\theta$ $\theta$
迷惑パラメータの数はサンプルサイズとともに増加します

— Scortchi-モニカの回復
ソース

に制約がある場合、たとえば場合、このメソッドは変更なしで適用されますか？およびとなるようなパラメータ、 MLEについてはどうでしょうか？

θ

$\theta$

θ \in [0, 1]

$\theta \in [0, 1]$

N

$N$

θ_{i}

$\theta_i$

i = 0, . . ., N - 1

$i=0,...,N-1$

\sum_{i = 0}^{N - 1} θ_{i} = 1

$\sum_{i=0}^{N-1} \theta_i = 1$

θ_{i} \in [0, 1]

$\theta_i \in [0,1]$

— quant_dev 2014

場合、すなわち、真値が境界の一つに等しくありません。

θ \in (0, 1)

$\theta \in (0, 1)$

— Scortchi-モニカの回復

もしと、それは通常の近似が適用できず、さらにサンプルが必要であることを意味しませんか？

θ \in (0, 1)

$\theta \in (0,1)$

σ (\hat{θ}) > | \hat{θ} |

$\sigma(\hat{\theta}) > |\hat{\theta}|$

— quant_dev

はい、それは漸近的な信頼区間にすぎません。

— Scortchi-モニカの回復

@quant_dev：いいえ：通常の近似を適切にするパラメーターの変換を探すか、別の方法を使用します。

— Scortchi-モニカの回復