中央値不偏推定量は、平均絶対偏差を最小化しますか？

これはフォローアップですが、以前の質問とは別の質問でもあります。

私はウィキペディアで、「ラプラスで観察されたように、中央値偏りのない推定量は絶対偏差損失関数に関するリスクを最小化する」と読みました。しかし、私のモンテカルロシミュレーションの結果はこの議論をサポートしていません。

私は、対数正規母集団からサンプルを想定、μ及びσは、対数平均および対数SDであるβ = EXP （μ ）= $X_1,X_2,...,X_N \sim \mbox{LN}(\mu,\sigma^2)$$\mu$$\sigma$$\beta = \exp(\mu)=50$

幾何平均推定量は、人口中央値expの中央値不偏推定量です。。$\exp(\mu)$

場合には、μ及びσは、対数平均値であり、ログ-SDを、μと σはのためのMLEはありμとσ。$\hat{\beta}_{\mbox{GM}}= \exp(\hat{\mu})= \exp{(\sum\frac{\log(X_i)}{N})} \sim \mbox{LN}(\mu,\sigma^2/N)$$\mu$$\sigma$$\hat\mu$$\hat\sigma$$\mu$$\sigma$

一方、補正された幾何平均推定量は、母集団の中央値の平均不偏推定量です。

$\hat{\beta}_{\mbox{CG}}= \exp(\hat{\mu}-\hat\sigma^2/2N)$

LNからサイズ5のサンプルを繰り返し生成します。レプリケーション番号は10,000です。私が得た平均絶対偏差は、幾何平均推定器で25.14、補正幾何平均で22.92です。どうして？$(\log(50),\sqrt{\log(1+2^2)})$

ところで、推定された絶対偏差の中央値は、幾何平均では18.18、補正幾何平均推定では18.58です。

私が使用したRスクリプトは次のとおりです。

#```{r stackexchange}
#' Calculate the geomean to estimate the lognormal median.
#'
#' This function Calculate the geomean to estimate the lognormal
#' median.
#'
#' @param x a vector.
require(plyr)
GM <- function(x){
    exp(mean(log(x)))
}
#' Calculate the bias corrected geomean to estimate the lognormal
#' median.
#'
#' This function Calculate the bias corrected geomean using the
#' variance of the log of the samples, i.e., $\hat\sigma^2=1/(n-1)
# \Sigma_i(\Log(X_i)-\hat\mu)^2$
#'
#' @param x a vector.
BCGM <- function(x){
y <- log(x)
exp(mean(y)-var(y)/(2*length(y)))
}
#' Calculate the bias corrected geomean to estimate the lognormal
#' median.
#'
#' This function Calculate the bias corrected geomean using
#' $\hat\sigma^2=1/(n)\Sigma_i(\Log(X_i)-\hat\mu)^2$
#'
#' @param x a vector.
CG <- function(x){
y <- log(x)
exp(mean(y)-var(y)/(2*length(y))*(length(y)-1)/length(y))
}

############################

simln <- function(n,mu,sigma,CI=FALSE)
{
    X <- rlnorm(n,mu,sigma)
    Y <- 1/X
    gm <- GM(X)
    cg <- CG(X)
    ##gmk <- log(2)/GM(log(2)*Y) #the same as GM(X)
    ##cgk <- log(2)/CG(log(2)*Y)
    cgk <- 1/CG(Y)
    sm <- median(X)
    if(CI==TRUE) ci <- calCI(X)
    ##bcgm <- BCGM(X)
    ##return(c(gm,cg,bcgm))
    if(CI==FALSE) return(c(GM=gm,CG=cg,CGK=cgk,SM=sm)) else return(c(GM=gm,CG=cg,CGK=cgk,CI=ci[3],SM=sm))
}
cv <-2
mcN <-10000
res <- sapply(1:mcN,function(i){simln(n=5,mu=log(50),sigma=sqrt(log(1+cv^2)), CI=FALSE)})
sumres.mad <- apply(res,1,function(x) mean(abs(x-50)))
sumres.medad <- apply(res,1,function(x) median(abs(x-50)))
sumres.mse <- apply(res,1,function(x) mean((x-50)^2))
#```

#```{r eval=FALSE}
#> sumres.mad
      GM       CG      CGK       SM 
#25.14202 22.91564 29.65724 31.49275 
#> sumres.mse
      GM       CG      CGK       SM 
#1368.209 1031.478 2051.540 2407.218 
#```

真の値αから予想される絶対誤差を最小化するという基準によって推定器を選択した場合$\alpha^+$$\alpha$

$E=<|\alpha^+-\alpha|> = \int_{-\infty}^{\alpha^+} (\alpha^+-\alpha)f(\alpha) \mathrm{d}\alpha + \int^{\infty}_{\alpha^+} (\alpha-\alpha^+)f(\alpha)\mathrm{d}\alpha$

私たちは必要です

$\frac{dE}{d\alpha^+} = \int_{-\infty}^{\alpha^+} f(\alpha) \mathrm{d}\alpha - \int^{\infty}_{\alpha^+} f(\alpha) \mathrm{d}\alpha = 0$

$P(\alpha > \alpha^+) = 1/2$$\alpha^+$は1774年のラプラスに続く中央値であることが示されています。

Rに問題がある場合は、スタックオーバーフローに関する別の質問で質問してください。