対数正規分布の中央値の推定量としてサンプル中央値をいつ使用するのですか？

私自身は常に幾何平均を使用して対数正規中央値を推定します。ただし、業界では、サンプルの中央値を使用するとより良い結果が得られる場合があります。したがって、問題は、サンプル中央値を母集団中央値の推定量として確実に使用できる開始カットオフ範囲/ポイントがあるかどうかです。

また、サンプルの幾何平均は中央値のMLEですが、偏りはありません。偏りのない推定量は、が既知の場合、ます。実際には、は常に不明であるため、バイアスされた修正推定量（下記を参照）が使用されます。MSEが小さく偏りがないため、このバイアス補正されたgeomean推定量はより優れているとする論文があります。ただし、実際には、サンプルサイズが4〜6しかない場合、バイアス補正は意味がないと主張できます。 $\hat{\beta}_{\mbox{CGM0}}=\exp(\hat{\mu}-\sigma^2/2N)$ $\sigma$ $\hat{\beta}_{\mbox{CGM}}$ $\sigma$

偏りがないとは、推定器が真の母集団パラメーターを中心とし、パラメーターの下でも過大でもないことを意味します。正に歪んだ分布の場合、中心は平均ではなく中央値です。
変換に対する不変量は、現在の領域で重要なプロパティです（DT50と劣化率kの間の変換、k = log（2）/ DT50）。元のデータと変換されたデータに基づいて、異なる結果が得られます。
限られたサンプルサイズの場合、平均不偏性は誤解を招く可能性があります。バイアスはエラーではなく、不偏推定量はより大きなエラーを与える可能性があります。ベイジアンの観点からは、データは既知で固定されており、MLEはデータを観察する確率を最大化し、バイアス補正は固定パラメーターに基づいています。

サンプルの幾何平均推定量はMLEで、中央値に偏りがなく、変換に対して不変です。バイアス補正されたgeomean推定器よりも望ましいと思います。私は正しいですか？

Assumming $X_1,X_2,...,X_N \sim \mbox{LN}(\mu,\sigma^2)$

$\beta = \exp(\mu)$

$\hat{\beta}_{\mbox{GM}}= \exp(\hat{\mu})= \exp{(\sum\frac{\log(X_i)}{N})} \sim \mbox{LN}(\mu,\sigma^2/N)$

$\hat{\beta}_{\mbox{SM}}= \mbox{median}(X_1,X_2,...,X_N)$

$\hat{\beta}_{\mbox{CGM}}= \exp(\hat{\mu}-\hat\sigma^2/2N)$

ここで、とは対数平均とlog-sd、とはと MLEです。 $\mu$ $\sigma$ $\hat\mu$ $\hat\sigma$ $\mu$ $\sigma$

関連する質問：サンプル中央値の分散には、近似式ます。この式を使用するのに十分な大きさのサンプルサイズとは $\frac{1}{4Nf(m)^2}$

median unbiased-estimator lognormal

— 正雷
ソース

以下のためのあなたの表現上の帽子持っていません。これは、が既知であることを前提としていますか？それはあまり役に立たないようです。

{\hat{β}}_{CGM}

$\hat{\beta}_{\mbox{CGM}}$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

— Hong Ooi

申し訳ありませんが、

{\hat{σ}}^{2}

$\hat\sigma^2$

— Zhenglei 2013

または定義していないため、推定量が何であるかは不明です。対数正規モデルと小さなサンプルに関する主な懸念は、対数正規ベースの推定量が対数正規の仮定に敏感であることです。そのため、この仮定が正しいという十分な証拠がない限り、通常は別のロバスト推定量を使用することをお勧めします。

\hat{μ}

$\hat{\mu}$

\hat{σ}

$\hat{\sigma}$

— whuber

@whuber、およびはMLEです。対数正規仮定の懸念に同意します。私の現在の作業領域では、対数正規仮定は標準的な方法であり、当局によって受け入れられています。だから私の質問はすべて対数正規の仮定が正しいことに基づいています。

\hat{μ}

$\hat\mu$

\hat{σ}

$\hat\sigma$

— Zhenglei 2013

いいえ、とは対数平均とlog-sdであり、対数正規の平均とsdではありません。わかりやすくするために質問を編集します。

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— Zhenglei 2013

どうやら、公平さの概念はすでにずっと前に議論されてきたようです。平均不偏性は優れた推定量の標準的な要件であるため、これは議論の価値のあるトピックだと思いますが、小さいサンプルの場合は、大きいサンプルの推定ほど意味がありません。

私はこれらの2つの参照を、投稿の2番目の質問への回答として投稿します。

ブラウン、ジョージW「小標本推定について」数学的統計の年報、巻。18、いいえ。4（1947年12月）、582〜585ページ。JSTOR 2236236。

リーマン、EL "偏見のない一般的な概念"数学的統計の年報、vol。22、いいえ。4（1951年12月）、587-592ページ。JSTOR 2236928

— 正雷
ソース