統計表に記載されていない（内挿する）値を見つけるにはどうすればよいですか？

多くの場合、人々はプログラムを使用してp値を取得しますが、場合によっては-何らかの理由で、テーブルのセットから重要な値を取得する必要がある場合があります。

限られた数の有意水準と限られた数の自由度を持つ統計表が与えられた場合、他の有意水準または自由度（、カイ2乗、表など）で近似臨界値を取得する方法？$t$$F$

つまり、テーブル内の値の「間にある」値を見つけるにはどうすればよいですか？

この答えは、主に2つの部分に分かれています。1つ目は線形補間を使用すること、2つ目は変換を使用してより正確な補間を行うことです。ここで説明するアプローチは、利用可能なテーブルが限られている場合の手計算に適していますが、p値を生成するコンピュータールーチンを実装している場合は、代わりに使用する必要があるはるかに優れたアプローチ（手作業で行うのが退屈な場合）があります。

z検定の10％（片側）の臨界値が1.28で、20％の臨界値が0.84であることがわかっている場合、15％の臨界値での大まかな推測は-（1.28 + 0.84）の中間になります。 / 2 = 1.06（実際の値は1.0364）、12.5％の値は10％の値（1.28 + 1.06）/ 2 = 1.17（実際の値1.15+）の中間で推測できます。これはまさに線形補間の機能です-しかし、「中間」ではなく、2つの値の間の途中の部分を調べます。

単変量線形補間

単純な線形補間の場合を見てみましょう。

そのため、近似しようとしている値の近くでほぼ線形であると思われる関数（たとえば）があり、たとえば次のように、値の両側に関数の値があります。$x$

$$\begin{array}{ c c } x & y\\ 8 & 9.3\\ 16 & y_{16}\\ 20 & 15.6\\ \end{array}$$

がわかっている2つの値は、12（20-8）離れています。値（おおよその値が必要な値）が、その12の差を8：4（16-8と20-16）の比率でどのように分割するかを見てください。つまり、最初の値から最後までの距離の2/3です。関係が線形の場合、対応するy値の範囲は同じ比率になります。y x y $x$$y$$x$$y$$x$

だから、とほぼ同じであるべきである16-$\frac{y_{16} - 9.3}{15.6 - 9.3}$。$\frac{16-8}{20-8}$

それは$\frac{y_{16} - 9.3}{15.6 - 9.3} \approx \frac{16-8}{20-8}$

再配置：

$y_{16} \approx 9.3 + (15.6 - 9.3) \frac{16-8}{20-8} = 13.5$

統計テーブルの例：12 dfの以下の重要な値を持つtテーブルがある場合：

$$\begin{array}{ c c } (2\text{-tail})& \\ α & t\\ 0.01 & 3.05\\ 0.02 & 2.68\\ 0.05 & 2.18\\ 0.10 & 1.78 \end{array}$$

12 dfと0.025の両側アルファを持つtの臨界値が必要です。つまり、そのテーブルの0.02行と0.05行の間を補間します。

$$\begin{array}{ c c } α & t\\ 0.02 & 2.68\\ 0.025 & \text{?}\\ 0.05 & 2.18\\ \end{array}$$

「」の値は、近似に線形補間を使用するt 0.025値です。（BY T 0.025私は実際に意味1 - 0.025 / 2の逆CDFの点T 12分布）。$\text{?}$$t_{0.025}$$t_{0.025}$$1-0.025/2$$t_{12}$

前のように、分割から間隔0.02に0.05の比率で（0.025 - 0.02 ）に（0.05 - 0.025 ）（すなわち、1 ：5）及び未知のT -値は、分割すべきであるTの範囲2.68に2.18と同じ比率で、等価的に、0.025が発生（0.025 - 0.02 ）/（0.05 - 0.02 ）= 1 $0.025$$0.02$$0.05$$(0.025-0.02)$$(0.05-0.025)$$1:5$$t$$t$$2.68$$2.18$$0.025$沿っ方法の第 X未知よう-range、 T -値が発生する 1 / 6に沿った道の目のT -rangeを。$(0.025-0.02)/(0.05-0.02) = 1/6$$x$$t$$1/6$$t$

それはまたは同等$\frac{t_{0.025}-2.68}{2.18-2.68} \approx \frac{0.025-0.02}{0.05-0.02}$

$t_{0.025} \approx 2.68 + (2.18-2.68) \frac{0.025-0.02}{0.05-0.02} = 2.68 - 0.5 \frac{1}{6} \approx 2.60$

$2.56$$\alpha = 0.5$

変換によるより良い近似

$\log$$\log$

$$\begin{array}{ c c } α & \log(α)& t\\ 0.02 & -3.912 & 2.68\\ 0.025& -3.689 & t_{0.025}\\ 0.05 & -2.996 & 2.18\\ \end{array}$$

今

$$\begin{eqnarray} \frac{t_{0.025}-2.68}{2.18-2.68} &\approx& \frac{\log(0.025)-\log(0.02)}{\log(0.05)-\log(0.02)} \\ &=& \frac{-3.689 - -3.912}{-2.996 - -3.912}\\ \end{eqnarray}$$

または同等に

$$\begin{eqnarray} t_{0.025} &\approx& 2.68 + (2.18-2.68) \frac{-3.689 - -3.912}{-2.996 - -3.912}\\ &=& 2.68 - 0.5 \cdot 0.243 \approx 2.56 \end{eqnarray}$$

これは、引用された数字の数に正しいです。これは、xスケールを対数的に変換すると、関係がほぼ線形になるためです。

実際、視覚的に曲線（灰色）は直線（青）の上にきちんとあります。

$\text{logit}(\alpha)=\log(\frac{α}{1-α})=\log(\frac{1}{1-α}-1)$$\alpha$$\log$

さまざまな自由度にわたる補間

$t$$F$$\nu$$^\dagger$$1/\nu$

$120/\nu$$120/\nu$

$F_{4,\nu}$$\nu = 60$$120$$1/\nu$$\nu=80$$F$

$$F_{4,80,.95} \approx F_{4,60,.95} + \frac{1/80 - 1/60}{1/120 - 1/60} \cdot (F_{4,120,.95}-F_{4,60,.95})$$

（こちらの図と比較してください）

---

$^\dagger$

これがカイ二乗表です

            Probability less than the critical value
 df           0.90      0.95     0.975      0.99     0.999
______   __________________________________________________

 40         51.805    55.758    59.342    63.691    73.402
 50         63.167    67.505    71.420    76.154    86.661
 60         74.397    79.082    83.298    88.379    99.607
 70         85.527    90.531    95.023   100.425   112.317

57の自由度に対して5％の臨界値（95パーセンタイル）を見つけたいと想像してください。

よく見ると、表の5％の重要な値はここでほぼ直線的に進行していることがわかります。

（緑の線は50と60 dfの値を結合します。40と70の点に触れていることがわかります）

したがって、線形補間は非常にうまくいきます。しかしもちろん、グラフを描く時間はありません。線形補間を使用するタイミングと、より複雑なことを試みるタイミングを決定する方法

$(x_{50,0.95}+x_{70,0.95})/2$$x_{60,0.95}$

$(67.505+90.531)/2 = 79.018$

$\frac{x-67.505}{79.082-67.505} \approx {57-50}{60-50}$

$x\approx 67.505+(79.082-67.505)\cdot {57-50}{60-50}\approx 75.61$

実際の値は75.62375であるため、実際には3桁の精度が得られ、4桁目では1桁しか出ていません。

有限差分の方法を使用することにより（特に、分割された差分を介して）、より正確な補間が行われる場合がありますが、これはほとんどの仮説テスト問題ではおそらく過剰です。

あなたの自由度があなたのテーブルの端を越えて行くなら、この質問はその問題について議論します。