経験的平均が値を超えると予想される回数

iid確率変数の列、と言う、与えられたのために、私は経験的平均の期待される回数を制限しようとしています $X_i \in [0,1]$ $i = 1,2,...,n$ 、値を超える：である、我々は、サンプルを描画し続けるように、 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ $c \geq 0$

T \overset{d e f}{=} \sum_{j = 1}^{n} P ({\frac{1}{j} \sum_{i = 1}^{j} X_{i} \geq c})

$\mathcal{T} \overset{def}{=} \sum_{j=1}^n \mathbb{P} \left(\left\{ \frac{1}{j}\sum_{i=1}^j X_i \geq c\right\}\right)$

あるに対してであると仮定すると、Hoeffdingの不等式を使用して $c = a + \mathbb{E}[X]$ $a > 0$

\begin{aligned} T & \leq \sum_{j = 1}^{n} e^{- 2 j a^{2}} \\ = \frac{1 - e^{- 2 a^{2} n}}{e^{2 a^{2}} - 1} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{T} & \leq \sum_{j=1}^n e^{-2ja^2} \\ & = \frac{1 - e^{-2 a^2 n}}{e^{2 a^2}-1} \end{align}$

（多分）見た目は良いですが、実際にはかなり緩い境界です。この値を制限するより良い方法はありますか？（ごとに）異なるイベントは明らかに独立していないので、この依存関係を利用する方法を私は知りません。また、が平均よりも大きいという制限を削除するとよいでしょう。 $j$ $c$

編集：次のようにマルコフの不等式を使用すると、が平均より大きいという制限を取り除くことができます。 $c$

それは明らかだが、束縛上記よりもはるかに悪いより一般的ですが、いつでも発散する必要があります。

\begin{aligned} T & \leq \sum_{j = 1}^{n} \frac{\frac{1}{j} E [X]}{c} \\ = \frac{E [X] H_{n}}{c} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{T} & \leq \sum_{j=1}^n \frac{\frac{1}{j}\mathbb{E}[X]}{c} \\ & = \frac{\mathbb{E}[X]H_n}{c} \end{align}$

T

$\mathcal{T}$

c \leq E [X]

$c \leq \mathbb{E}[X]$

mathematical-statistics expected-value bounds

— Fairidox
ソース

定義は、

説明とは関係ありません。「

」が削除された場合、

予期される超過回数になりますが、書かれているように、時間の線形結合です。確率は相互に排他的ではないため、これは明らかに期待値ではありません。例えば、

、

。

T

$\mathcal{T}$

j \times

$j\times$

c

$c$

c \leq 0

$c\le 0$

T = n (n + 1) / 2

$\mathcal{T} = n(n+1)/2$

— whuber

@whuberああ、そうですね、良い点をありがとう、私は上で修正しました。

— フェアイドックス2013

上限を変更したことに気づきました。今では負のようです;-)。

— whuber

指数の"

"は二乗されるべきではありませんか？-

j

$j$

— わかり

これはかなり手作りのアプローチであり、私はそれにいくつかのコメントをいただければ幸いです（そして批判的なものは通常最も役に立ちます）。私が正しく理解していれば、OPはサンプル手段を計算各サンプルは新しいRVの意味から、前のサンプル1の観測が含まれ、各サンプルの平均値の分布を。次に書くことができます $\bar x_j$ $F_j$

T \overset{d e f}{=} Σ_{j = 1}^{ん} （ 1 - F_{j} （ c ） ） = ん - Σ_{j = 1}^{ん} F_{j} （ c ）

$\mathcal{T} \overset{def}{=} \sum_{j=1}^n \left(1-F_j(c)\right) = n- \sum_{j=1}^n F_j(c)$

サンプルサイズの検討サンプル平均値の分布がほぼ正常である後に、それを表す。次に書くことができます $m$ $\hat G$

T = ん - Σ_{j = 1}^{メートル} F_{j} （ c ） - Σ_{j = メートル + 1}^{ん} {\hat{G}}_{j} （ c ） < ん - Σ_{j = メートル + 1}^{ん} {\hat{G}}_{j} （ c ）

$\mathcal{T} = n- \sum_{j=1}^m F_j(c)-\sum_{j=m+1}^n \hat G_j(c) < n-\sum_{j=m+1}^n \hat G_j(c)$

解決我々は入手 $\hat G_j(c)$ ここで、である標準正規累積分布関数は、IIDプロセスの標準偏差であり、その平均値です。境界に挿入して再配置します

{\hat{G}}_{j} （ c ） = 1 - Φ （ \frac{\sqrt{j}}{σ} （ μ - c ） ）

$\hat G_j(c) = 1- \Phi\left(\frac{\sqrt j}{\sigma}(\mu-c)\right)$

Φ

$\Phi$

σ

$\sigma$

μ

$\mu$

T < メートル + Σ_{j = メートル + 1}^{ん} Φ （ \frac{\sqrt{j}}{σ} （ - a ） ）

$\mathcal{T} < m+\sum_{j=m+1}^n \Phi\left(\frac{\sqrt j}{\sigma}(-a)\right)$

$m= 30$ $[0,1]$ $\sigma = \sqrt \frac{1}{12}$ $\mu = \frac 12$ $a=0.05$ $n=34$ $n>30$ $n=100$ $78.5$ $36.2$ $\approx 199.5$ $\approx 38.5$ $a$ $a=0.1$ $49.5$ $30.5$
$n\rightarrow \infty$

H_{b} \to \frac{1}{e^{2 a^{2}} - 1}

$H_b\rightarrow \frac{1}{e^{2 a^2}-1}$

あ_{b} \to メートル

$A_b \rightarrow m$

$a$ $H_b$ $A_b$

— アレコスパパドプロス
ソース

" （つまり、サンプル平均の分布で正規近似を取得するために必要な仮定のサンプルサイズのしきい値を超えない） "ここで何を話しているのですか？

— Glen_b-2013

\approx 30.5

$\approx 30.5$

m + 0.5

$m + 0.5$

\sum_{j = m + 1}^{n} Φ (\frac{\sqrt{j}}{σ} (- a))

$\sum_{j=m+1}^n \Phi\left(\frac{\sqrt j}{\sigma}(-a)\right)$

それが成り立つ状況を述べることができない限り、そのことを一般的な意味での経験則と呼ぶことは避けてください。30の数値は完全に恣意的であり（通常は非常に弱すぎるか、または非常に強すぎます）、その30もあなたの場合に現れますが、私は単純な偶然だと思います。

— Glen_b-2013

@Glen_b "30"は偶然ではありませんでした。数値の例を提供するために使用しました。私はこの問題に異議はなく、「経験則」（特にそれらが疑わしい場合）は好きではありません。私は私の答えにいくつかの変更を加えました。入力いただきありがとうございます。

— Alecos Papadopoulos 2013

@Glen_bおそらく非定常（つまり、長い）メモリをありがとう！

— Alecos Papadopoulos 2014