2つのパラメーターの積の信頼区間

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2つのパラメーターとがあると仮定します。また、2つの最尤推定量およびと、これらのパラメーターの2つの信頼区間があります。信頼区間を構築する方法はありますか？ $p_1$ $p_2$ $\hat{p_1}$ $\hat{p_2}$ $p_1p_2$

confidence-interval

— ゲスト
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Deltaメソッドを使用して、 $\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ 標準誤差を計算できます。関数の分散の近似ことデルタ方式状態 $g(t)$ ：で与えられる

V a r (g (t)) \approx \sum_{i = 1}^{k} g_{i}^{'} (θ)^{2} V a r (t_{i}) + 2 \sum_{i > j} g_{i}^{'} (θ) g_{j}^{'} (θ) C o v (t_{i}, t_{j})

$\mathrm{Var}(g(t))\approx \sum_{i=1}^{k}g'_{i}(\theta)^{2}\mathrm{Var}(t_{i})+2\sum_{i>j}g'_{i}(\theta)g'_{j}(\theta)\mathrm{Cov}(t_{i},t_{j})$ の期待値の近似値

g (t)

$g(t)$ ：一方はで与えられる

E (g (t)) \approx g (θ)

$\mathrm{\mathbf{E}}(g(t))\approx g(\theta)$ したがって、期待は単純に関数です。関数

g (t)

$g(t)$ は次のとおりです

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$ です。

g (p_{1}, p_{2}) = p_{1} p_{2}

$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$ の期待値は

単に

p_{1} p_{2}

$p_{1}p_{2}$ ます。分散には、

g (p_{1}, p_{2})

$g(p_{1}, p_{2})$ の偏微分が必要です：

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial p_{1}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}} g (p_{1} p_{2}) & = p_{1} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial p_{1}}g(p_{1}p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}}g(p_{1}p_{2}) &= p_{1} \\ \end{align}$

上記の分散の関数を使用すると、次の結果が得られます。

V a r (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}) = {\hat{p_{2}}}^{2} V a r (\hat{p_{1}}) + {\hat{p_{1}}}^{2} V a r (\hat{p_{2}}) + 2 \cdot \hat{p_{1}} \hat{p_{2}} C o v (\hat{p_{1}}, \hat{p_{2}})

$\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})=\hat{p_{2}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) + \hat{p_{1}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{2}})+2\cdot \hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\mathrm{Cov}(\hat{p_{1}},\hat{p_{2}})$

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}}

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$

\hat{p_{1}} \hat{p_{2}} \pm 1.96 \cdot \hat{S E} (\hat{p_{1}} \hat{p_{2}})

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\pm 1.96\cdot \widehat{\mathrm{SE}}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})$

$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\Sigma$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ （行列は対称です）。コメントで@gungが言及しているように、ほとんどの統計ソフトウェアで分散共分散行列を抽出できます。時々、推定アルゴリズムはヘッセ行列を提供し（ここでは詳細については触れません）、分散共分散行列は負のヘッセ行列の逆行列によって推定できます（ただし、対数尤度を最大化した場合のみ！;参照）この投稿）。繰り返しになりますが、ヘッセ行列を抽出する方法と行列の逆を計算する方法については、統計ソフトウェアやWebのドキュメントを参照してください。

$\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/3.92$ $100(1-\alpha)\%$ $\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/(2\cdot z_{1-\alpha/2})$ $z_{1-\alpha/2}$ $(1-\alpha/2)$ $\alpha=0.05$ $z_{0.975}\approx 1.96$ $\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) = \mathrm{SE}(\hat{p_{1}})^{2}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$ $\hat{p_{1}}$ $\hat{p_{2}}$

このペーパーは、追加情報を提供する場合があります。

— クールサーダッシュ
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β

$\boldsymbol\beta$ covb

1

\hat{β}

$\hat \beta$

β

$\beta$

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\hat{β}

$\boldsymbol{\hat\beta}$

1

プロファイル尤度関数を作成してみてください。そして、そこから信頼区間を構築します。

— kjetil b halvorsen 2017

v a r (p_{1}) = 0

$var(p_1)=0$

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製品の分散を計算するための別の方程式を見つけました。

xとyが独立して分布している場合、積の分散は比較的単純です。V（x * y）= V（y）* E（x）^ 2 + V（x）* E（y）^ 2 + V（ x）* V（y）これらの結果は、3つ以上の変数を含む場合にも一般化されます（Goodman 1960）。出典：農薬の規制（1980）、付録F

Coolserdash：最後の成分V（x）* V（y）が方程式にありません。参照されている本（農薬の規制）は間違っていますか？

また、両方の方程式が完全ではない場合もあります。「... 3つの独立した正規変数の積の分布が正規でないことを示しています。」（ソース）。2つの正規分布変数の積でさえ、いくらかの正のスキューを期待します。

— マレク・シエルニー
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CIの長さ/ 2 / 1.96 = se、つまりAまたはBの標準誤差
se ^ 2 = var、つまり推定値AまたはBの分散
推定されたAまたはBをAまたはBの平均として使用します。すなわち、E（A）またはE（B）
このページhttp://falkenblog.blogspot.se/2008/07/formula-for-varxy.htmlに従って、var（A * B）、つまりvar（C）を取得します
var（C）の平方根はCのseです
（C-1.96 * se（C）、C + 1.96 * se（C））はCの95％CIです

AとBが相関している場合は、それらの共分散も考慮する必要があることに注意してください。

— アイスコーヒー
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