2つの独立したランダム変数の積

約1000個の値のサンプルがあります。これらのデータは、2つの独立したランダム変数の積から取得されます。最初のランダム変数は、一様分布持っています。2番目の確率変数の分布は不明です。2番目の（）確率変数の分布を推定するにはどうすればよいですか？ $\xi \ast \psi$ $\xi \sim U(0,1)$ $\psi$

probability distributions mathematical-statistics

— アンディ
ソース

これは、デコンボリューション問題と呼ばれるもののバージョンです。製品のログに移動すると、いずれかの項の分布がわかっているときに、合計の推定分布が得られます。ウィキペディアで確認してください。

— 西安

クロスバリデーションに関するこの関連する質問も参照してください。ログ変換を適用すると、問題は同等になります。

— 西安

@ Xi'an：素敵なリンク。ことを私は確信して希望

ψ \geq 0

$\psi \geq 0$ 、ほぼ確実に...私たちのように分解することによって、この条件の一見致命的な違反から回復することができますが

ψ = ψ_{+} - ψ_{-}

$\psi = \psi_{+} - \psi_{-}$ と個別の作品を検討。

— 枢機

@cardinal一部のデータが負の場合、推定問題がどのように処理されるのか興味があります。分解はどのように決定されますか？（以下のデータを割り当てる直感的な方法

よりも1成分及びデータ以上に

指数関数との畳み込みから来た値有効にする傾向があるので、私には別のルックスの次善に

比較的大きな正の観測に成分。）に見えむしろ、推定器が混合物とデコンボリューションの識別を同時に処理しなければならないのと同じです。

1

$1$

1

$1$

ψ_{-}

$\psi_{-}$

— whuber

@Cardinal、説明してくれてありがとう。いいえ、ノイズではありません。対数の観点から考えていたため、

が非負であることを忘れていました。

ξ

$\xi$

— whuber

が正の実数線サポートしていると仮定すると、 $\psi$ 及びデータの経験的分布です。この方程式の対数をとると、

ξ ψ = X

$\xi \,\psi = X$

X \sim F_{n}

$X \sim F_n$

F_{n}

$F_n$

L o g (ξ) + L o g (ψ) = L o g (X)

$Log(\xi) + Log(\psi) = Log(X)$

したがって、レビーの連続性定理、および特性関数をとると独立性により： $\xi$ $\psi$

Ψ_{L o g (ξ)} (t) Ψ_{L o g (ψ)} (t) = Ψ_{L o g (X)}

$\Psi_{Log(\xi)}(t)\Psi_{Log(\psi)}(t) = \Psi_{Log(X)}$

今、このように、 $\xi\sim Unif[0,1]$ $, therefore$ $-Log(\xi) \sim Exp(1)$

Ψ_{L o g (ξ)} (- t) = {(1 + i t)}^{- 1}

$\Psi_{Log(\xi)}(-t)= \left(1 + it\right)^{-1}\,$

その与えられた $\Psi_{ln(X)} =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{1000}\exp(itX_k) ,$ $X_1 ... X_{1000}$ $\ln(X)$

$Log(\psi)$

{(1 + i t)}^{- 1} Ψ_{L o g (ψ)} (t) = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{1000} \exp (i t X_{k})

$\left(1 + it\right)^{-1}\,\Psi_{Log(\psi)}(t) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{1000}\exp(itX_k)$

$\ln(\psi)$ $t<1$

M_{L o g (ψ)} (t) = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{1000} \exp (- t X_{k}) (1 - t)

$M_{Log(\psi)}(t) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{1000}\exp(-t\,X_k)\,\left(1 - t\right)\,$

It is enough then to invert the Moment generating function to get the distribution of $ln(\phi)$ and thus that of $\phi$

— Drmanifold
ソース

can you explain this with an example in R?

— Andy

Of course. I ll try to post it tomorrow.

— Drmanifold