log（a）の期待値と分散

ランダム変数があり、aは正規分布です。とについて何が言えますか？近似も役立ちます。 $X(a) = \log(a)$ $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ $E(X)$ $Var(X)$

— Rocksportrocker
ソース

質問は対数正規の「逆」についてだったと思います。つまり、正規のrv Aが対数正規X = exp（A）につながる場合、質問者はX = log（A）の分布について尋ねていました。（負の数のログが必要になる場合があるため）未定義です。切り捨てられた法線にはいくつかの結果があるかもしれませんが、それらは乱雑になる可能性があります。

— マーティンオレアリー

rocksportrockerは、@ Martin O'Learyが指摘しているように、は負の値に対して未定義でため、そのような変数を持つことは数学的に不可能です。少なくとも負ではない値で切り捨てる必要があります。が正常であると思わ理由を教えてください。

X

$X$

\log (a)

$\log(a)$

a

$a$

a

$a$

— whuber

かなり一般的な意味で「概算」を考慮すると、どこかに到達できます。

実際の正規分布があると仮定するのではなく、0の近傍では密度がゼロでないことを除いて、ほぼ正規のものを仮定する必要があります。

だから、ということだと言うてみましょう、我々はについての懸念離れhandwaveことができるという意味で「ほぼ垂直」である（平均*近くに集中）0の近くに来て（との瞬間にその後の影響ので、doesnの't' get near 0 '）、しかし指定された正規分布と同じ低次モーメントで、テイラー級数を使用して変換されたランダム変数のモーメントを近似できます。 $a$ $a$ $\log(a)$ $a$

いくつかの形質転換のために、これは拡張を伴うテイラー級数として（思うここで、取っている'の役割 'およびかかり' '）の役割）そして、期待値を取得し、分散を計算するか、展開の2乗の予測値を計算します（そこから分散を取得できます）。 $g(X)$ $g(\mu_X + X-\mu_X)$ $g(x+h)$ $\mu_X$ $x$ $X-\mu_X$ $h$

結果の近似の期待値と分散は次のとおりです。

と $\text{E}\left[g(X)\right]\approx g(\mu_X) +\frac{g''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

$\text{Var}\left[g(X)\right]\approx \left(g'(\mu_X)\right)^2\sigma^2_X$

そして、（エラーを犯さなかった場合）、： $g() = \log()$

E [\log (a)] \approx l o g (μ_{a}) - \frac{σ_{a}^{2}}{2 μ_{a}^{2}}

$\text{E}\left[\log(a)\right]\approx log(\mu_a) -\frac{\sigma_a^2}{2\mu_a^2}$

Var [\log (a)] \approx σ_{a}^{2} / μ_{a}^{2}

$\text{Var}\left[\log(a)\right]\approx \sigma^2_a/\mu_a^2$

*これを適切な近似値にするには、通常、の標準偏差を平均と比較して非常に小さくする必要があります（変動係数が低い）。 $a$

— Glen_b -Reinstate Monica
ソース

対数のテイラー級数の収束半径は比較的小さいため、これらの近似を適用する際には注意が必要です。

— whuber

@whuberは平均の周りの拡張で、これは私の答えが終わる「

標準偏差は平均と比べて非常に小さくなければならない」というアドバイスに対応すると思います-そのアドバイスに関するさらなる問題を逃している場合私の答えを修正する必要はありません。

a

$a$

— Glen_b

平均の近似は

で非常にうまく機能し、分散の近似は

非常にうまく機能します。

μ / σ > 1.5

$\mu/\sigma \gt 1.5$

μ / σ > 2.5

$\mu/\sigma \gt 2.5$

— whuber

いずれの場合では、確かに、我々は間接的の収束に依存していることは明らかである価値がある

（以降

\ln (1 + x)

$\ln(1+x)$

\ln (μ + y - μ) = \ln [μ {1 + (y - μ) / μ}] = \ln (μ) + \ln [1 + (y - μ) / μ]

$\ln(\mu + y-\mu) = \ln[\mu\{1 + (y - \mu)/\mu\}] = \ln(\mu) + \ln[1 + (y - \mu)/\mu]$ ）。提案された明示的な値にも感謝します。どちらかといえば、それを使用するときに少し慎重になります。2つの貴重なコメント。

— Glen_b