置き換えて描画する場合の予想される重複（3重など）の数

次の問題があります。

100個のアイテム（n）があり、そのうち43個（m）を一度に1つずつ選択します（置き換えあり）。

予想される一意の数（一度だけ選択、k = 1）、倍精度（正確に2回k = 2選択）、三重（正確にk = 3）、四角などを解決する必要があります。

少なくとも1つのダブル（誕生日のパラドックス）が存在する確率については多くの結果を見つけることができましたが、母集団のペアの予想数については見つかりませんでした。

probability expected-value birthday-paradox

— ケイトリンK
ソース

モンテカルロ推定はあなたにとって有用でしょうか、それとも閉じた形で答えが必要ですか？

— David J. Harris

私は、n、m、kのさまざまな値に簡単に適用できるように、閉形式の式を使用します。

— Kaitlyn K

ITERMが選択される倍。これから、たとえばであるため、必要なすべての数量を見つけることができますたとえば、予想されるペアの数はによって与えられ $i^{th}$ $\text{Binom}(m, \, 1/n)$

E [number of  pairs] = \sum_{i = 1}^{n} P [i^{t h} item appears twice]

$\mathbb{E}[\text{number of pairs}] = \sum_{i = 1}^n \mathbb{P}[i^{th} \text{ item appears twice}]$

n \cdot P [Binom (m, 1 / n) = 2] .

$n \cdot \mathbb{P}[\text{Binom}(m, \, 1/n) = 2].$

コマンドn * dbinom（k、m、1 / n）を使用して、Rの数値を取得できます。

— ステファン・ウェイガー
ソース

その式は、k = 0または1に使用できますか？

— Kaitlyn K

はい、できます。k = 0の場合、「選択したm個のポイントの間に表示されないポイントの数」と解釈できます。

— Stefan Wager 2013

しかし、これらのイベントは独立したものではありません。たとえば、アイテム1がm回出現すると、他のアイテムは出現できなくなります。単純にPを加算することはできません。

— asterix314