統計の数学的基礎に関する優れたリソース（オンラインまたは書籍）

私が質問する前に、私が探しているリソースの種類をよりよく理解できるように、統計について知っていることについて少し背景を説明しましょう。

私は心理学の大学院生なので、ほぼ毎日統計を使用しています。今では、一般的な構造方程式モデリングフレームワークに実装されているため、かなり幅広い技術に精通しています。しかし、私のトレーニングはこれらのテクニックの使用と結果の解釈についてでした-私はこれらのテクニックの正式な数学的基礎についてあまり知識がありません。

しかし、ますます統計から適切な論文を読む必要がありました。これらの論文は、線形代数など、私があまり知らない数学的概念の実用的な知識を前提としていることが多いことがわかりました。したがって、私が教えられてきたツールを盲目的に使用する以上のことをしたい場合、統計の数学的基礎のいくつかを学ぶことは有益だと確信しました。

したがって、2つの関連する質問があります。

1. 統計の数学的基礎を磨くかどうかを知るために、どのような数学的手法が役立つでしょうか？私は線形代数にかなり頻繁に遭遇し、確率理論について学ぶことは役立つと確信していますが、私が学ぶのに役立つ数学の他の分野はありますか？
2. 統計の数学的基礎についてもっと知りたい人として、どのリソース（オンラインまたは書籍形式）をお勧めできますか？

数学：

Grinstead＆Snell、Probabilityの紹介（無料）

Strang、線形代数の紹介

ストラング、微積分

MIT OpenCourseWareのStrangもチェックしてください。

統計理論（単なる数学以上のものです）：

コックス、統計的推論の原理

Cox＆Hinkley、理論統計

ガイザー、パラメトリック統計的推論のモード

そして、2番目の@AndreのCasellaとBergerです。

重要な数学的統計のトピックは次のとおりです。

• 指数関数的な家族と充足。
• 推定器の構築。
• 仮説検定。

数学的統計に関する参考資料：

• ムード、AM、グレイビル、FA、およびボーイズ、DC（1974）。統計理論の紹介。（BC Harrinson＆M. Eichberg、Eds。）（3rd ed。、p。564）。McGraw-Hill、Inc.

• Casella、G.、＆Berger、RL（2002）。統計的推論。（C. Crockett、Ed。）（第2版、p。657）。カリフォルニア州パシフィックグローブ：トムソンラーニングインクのワズワースグループ

Coursera https://www.coursera.org/#course/biostatsの Mathematical Biostatistics Bootcampをご覧ください。

（私の意見では）SEMは、従来の確率理論と、それから簡単に拡張できるいくつかの基本的な統計手法（ポイント推定、大標本理論、ベイジアン統計など）からかなり離れています。SEMは、そのようなメソッドからの多くの抽象化の結果だと思います。さらに、そのような抽象化が必要な理由は、因果推論をよりよく理解するという圧倒的な要求によるものだと思います。

あなたの経歴のある人にぴったりの本は、Judea Pearl's Causalityでしょう。この本は、特にSEMと多変量統計に対応し、因果関係と推論の理論を開発し、非常に哲学的に健全です。それは数学の本ではありませんが、論理と反事実に重きを置いており、統計モデルを守るための非常に正確な言語を開発しています。

数学的な背景から言えば、これらの結果は非常に健全であり、微積分学の広範な理解を必要としないと言えます。また、あなたがすでに大学院生であるときに必要な数学に追いつくことはあなたの血統の誰かにとって非現実的であると思います、それが統計学者がいる理由です！